어떤 문제인가
이 문제는 두 곡선이 만나는 점(교점)의 개수가 특정 개수(2개)가 되도록 하는 미지수 $k$의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 교점의 개수와 방정식의 실근: 두 곡선의 교점의 개수는 두 식을 같다고 놓은 방정식의 실근의 개수와 같습니다.
- 상수항 분리하기: 미지수 $k$를 한쪽 변에 혼자 남겨두면, 삼차함수 그래프와 가로선($y=k$)의 교점으로 문제를 쉽게 바꿀 수 있습니다.
- 도함수를 이용한 그래프 그리기: 삼차함수의 극댓값과 극솟값을 구해 그래프의 개형을 그립니다.
단계별 풀이
1단계: 두 식을 같다고 놓고, 미지수 $k$를 분리하기
두 곡선이 만나는 점을 찾기 위해 두 식을 같다고 놓습니다.
$$2x^2 - 1 = x^3 - x^2 + k$$
이 상태로 그래프를 그리기는 복잡하므로, 미지수 $k$만 우변에 남기고 나머지를 모두 좌변으로 이항해 줄게요.
$$-x^3 + 3x^2 - 1 = k$$
이제 이 문제는 **곡선 $y = -x^3 + 3x^2 - 1$과 직선 $y = k$**가 만나는 점의 개수가 2개가 되는 $k$를 찾는 문제로 바뀌었습니다!
2단계: 삼차함수 $f(x) = -x^3 + 3x^2 - 1$의 그래프 그리기
그래프의 모양을 알기 위해 미분을 통해 극값을 찾아봅시다.
$$f(x) = -x^3 + 3x^2 - 1$$
$$f'(x) = -3x^2 + 6x = -3x(x - 2)$$
도함수가 $0$이 되는 $x$의 값은 $x = 0$ 또는 $x = 2$입니다.
이제 이 값들을 원래 함수 $f(x)$에 대입하여 극값을 구합니다.
- **$x = 0$ 일 때 (극솟값):**
$$f(0) = -0^3 + 3(0)^2 - 1 = -1$$
- **$x = 2$ 일 때 (극댓값):**
$$f(2) = -(2)^3 + 3(2)^2 - 1 = -8 + 12 - 1 = 3$$
최고차항의 계수가 음수($-1$)이므로, 그래프는 왼쪽 위에서 내려왔다가 $(0, -1)$에서 꺾여 올라가고, $(2, 3)$에서 다시 꺾여 내려가는 모양이 됩니다.
3단계: $y = k$를 움직이며 교점이 2개가 되는 조건 찾기
이제 가로선 $y = k$를 위아래로 움직여 봅시다.
- $k > 3$ 일 때: 교점은 1개
- **$k = 3$ 일 때 (극댓값을 지날 때): 교점은 2개 (접하는 점 1개, 통과하는 점 1개)**
- $-1 < k < 3$ 일 때: 교점은 3개
- **$k = -1$ 일 때 (극솟값을 지날 때): 교점은 2개 (접하는 점 1개, 통과하는 점 1개)**
- $k < -1$ 일 때: 교점은 1개
따라서 교점의 개수가 2개가 되도록 하는 $k$의 값은 **$k = 3$ 또는 $k = -1$**입니다.
4단계: 양수 $k$의 값 구하기
문제에서 구하고자 하는 $k$는 양수라고 했습니다.
따라서 우리가 찾는 값은 $k = 3$입니다.
답
**③ $3$**
확인해보기
만약 문제 조건이 바뀌어서 **"두 곡선이 만나는 점의 개수가 3개가 되도록 하는 정수 $k$의 개수"**를 구하라고 한다면, 정수 $k$는 모두 몇 개가 될까요? (위의 3단계 분석을 참고하여 스스로 생각해보세요!)