어떤 문제인가
이 문제는 주어진 수열의 합을 이용해서 수열의 일반항 $a_n$을 구한 뒤, 새로운 수열의 합 $\sum_{n=1}^{10} a_n$의 값을 계산하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 우리는 다음 두 가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 수열의 합과 일반항 사이의 관계: 합 $S_n$을 알 때, 일반항 $a_n$은 $a_n = S_n - S_{n-1}$ ($n \ge 2$)을 이용해 구합니다.
- 부분분수 분해: 분모가 두 식의 곱으로 되어 있는 분수를 뺄셈 형태로 쪼개어, 더할 때 중간 항들이 서로 지워지도록 만드는 공식입니다.
$$\frac{1}{A \cdot B} = \frac{1}{B-A} \left( \frac{1}{A} - \frac{1}{B} \right)$$
단계별 풀이
1단계: 합의 식을 이용하여 일반항 모양 찾아내기
주어진 식에서 시그마($\sum$) 안의 복잡한 모양을 하나의 새로운 수열 $b_k$로 치환해 봅시다.
$$b_k = \frac{1}{(2k-1)a_k}$$
그러면 문제의 조건은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$\sum_{k=1}^{n} b_k = n^2+2n$$
이 수열 $b_k$의 첫째항부터 제 $n$항까지의 합을 $S_n$이라고 하면, $S_n = n^2+2n$입니다.
이제 $b_n$을 구하기 위해 $S_n - S_{n-1}$을 계산해 봅시다. (단, $n \ge 2$)
$$b_n = S_n - S_{n-1}$$
$$b_n = (n^2+2n) - \left\{ (n-1)^2 + 2(n-1) \right\}$$
$$b_n = (n^2+2n) - (n^2 - 2n + 1 + 2n - 2)$$
$$b_n = (n^2+2n) - (n^2 - 1) = 2n+1$$
첫째항($n=1$)일 때도 성립하는지 확인해 볼까요?
- $S_1 = 1^2 + 2(1) = 3$
- 위에서 구한 식에 $n=1$을 대입하면 $2(1)+1 = 3$
두 값이 같으므로, 모든 자연수 $n \ge 1$에 대하여 다음이 성립합니다.
$$b_n = 2n+1$$
2단계: 수열 $a_n$의 일반항 구하기
우리가 처음에 $b_n$을 어떻게 정의했는지 기억하나요?
$$b_n = \frac{1}{(2n-1)a_n}$$
이 식에 위에서 구한 $b_n = 2n+1$을 대입합니다.
$$\frac{1}{(2n-1)a_n} = 2n+1$$
양변의 역수를 취하거나 식을 정리하여 $a_n$에 대해 나타내면 다음과 같습니다.
$$a_n = \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$$
3단계: 부분분수를 이용하여 $\sum_{n=1}^{10} a_n$ 계산하기
이제 구하고자 하는 값인 $\sum_{n=1}^{10} a_n$을 계산해 봅시다.
$$\sum_{n=1}^{10} a_n = \sum_{n=1}^{10} \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$$
분모가 두 일차식의 곱으로 되어 있으므로 부분분수 공식을 적용합니다.
$A = 2n-1$, $B = 2n+1$이라고 하면, $B-A = (2n+1) - (2n-1) = 2$가 됩니다.
$$a_n = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right)$$
이제 이 식을 대입하여 $n=1$부터 $10$까지 더해봅시다.
$$\sum_{n=1}^{10} a_n = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{19} - \frac{1}{21} \right) \right]$$
괄호를 풀면 이웃한 항들이 서로 지워지는 아름다운 규칙이 보이죠?
$$\sum_{n=1}^{10} a_n = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{21} \right)$$
$$\sum_{n=1}^{10} a_n = \frac{1}{2} \times \frac{20}{21} = \frac{10}{21}$$
답
**① $\frac{10}{21}$**
확인해보기
수열 $\{a_n\}$의 첫째항부터 제 $n$항까지의 합이 $S_n = n^2$일 때, 일반항 $a_n$을 구하고 이를 이용해 다음 식의 값을 구해보세요.
$$\sum_{n=1}^{5} \frac{1}{a_n a_{n+1}}$$