어떤 문제인가
이 문제는 주어진 포물선의 방정식을 보고, 그 포물선의 준선의 방정식을 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 포물선의 기본형: $y^2 = 4px$ 꼴에서 초점은 $(p, 0)$, 준선은 $x = -p$입니다.
- 포물선의 평행이동: 기본형 그래프를 $x$축이나 $y$축 방향으로 평행이동했을 때, 초점과 준선도 함께 이동한다는 성질을 이용합니다.
단계별 풀이
1단계: 평행이동하기 전, 기본형 포물선 찾기
주어진 포물선의 방정식은 $y^2 = -12(x-1)$입니다. 이 식은 기본형 포물선인 $y^2 = -12x$를 $x$축 방향으로 평행이동한 것입니다.
먼저 기본형인 $y^2 = -12x$에서 $p$의 값을 구해봅시다.
포물선의 기본 공식 $y^2 = 4px$와 비교하면 다음과 같습니다.
$$4p = -12$$
양변을 $4$로 나누면,
$$p = -3$$
이 됩니다.
2단계: 기본형 포물선의 준선 구하기
기본형 포물선 $y^2 = 4px$의 준선의 방정식은 $x = -p$입니다.
우리가 구한 $p = -3$을 대입하면, 기본형 포물선 $y^2 = -12x$의 준선은 다음과 같습니다.
$$x = -(-3) \implies x = 3$$
3단계: 평행이동 적용하기
이제 원래 문제의 식인 $y^2 = -12(x-1)$을 보겠습니다.
이 식은 기본형 $y^2 = -12x$에서 $x$ 대신 $(x-1)$이 대입된 형태이므로, **$x$축 방향으로 $+1$만큼 평행이동**한 것입니다.
그래프가 오른쪽으로 $1$만큼 이동하면, 준선 역시 오른쪽으로 $1$만큼 이동하게 됩니다.
따라서 원래 준선 $x = 3$을 $x$축 방향으로 $+1$만큼 평행이동하면 새로운 준선의 방정식은 다음과 같습니다.
$$x = 3 + 1 \implies x = 4$$
문제에서 준선을 $x=k$라 했으므로, $k = 4$입니다.
답
**① $4$**
확인해보기
오늘 배운 내용을 잘 이해했는지 스스로 확인해볼까요?
> 질문: 포물선 $y^2 = 8(x+2)$의 준선의 방정식은 무엇일까요? (위에서 배운 단계대로 천천히 생각해보세요!)