어떤 문제인가
이 문제는 세 점 $\text{A, B, C}$가 한 직선 위에 있지 않을 때, 주어진 벡터 방정식을 만족하는 실수 $p, q$의 값을 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 벡터의 시점 통일: 서로 다른 시점을 가진 벡터들을 하나의 기준점(예: 점 $\text{A}$)을 시점으로 하는 벡터들로 분해하여 식을 단순하게 만듭니다.
- 벡터의 일차독립: 세 점이 한 직선 위에 있지 않으므로, 두 벡터 $\overrightarrow{\text{AB}}$와 $\overrightarrow{\text{AC}}$는 서로 평행하지 않습니다. 이 성질을 이용해 계수를 비교할 수 있습니다.
단계별 풀이
1단계: 벡터의 시점을 점 $\text{A}$로 통일하기
주어진 식에는 $\overrightarrow{\text{AB}}$, $\overrightarrow{\text{BC}}$, $\overrightarrow{\text{CA}}$처럼 시점이 제각각인 벡터들이 섞여 있습니다. 식을 쉽게 정리하기 위해 모든 벡터의 시점을 점 $\text{A}$로 통일해 봅시다.
- $\overrightarrow{\text{BC}}$는 시점을 $\text{A}$로 바꾸면 다음과 같이 분해할 수 있습니다.
$$\overrightarrow{\text{BC}} = \overrightarrow{\text{AC}} - \overrightarrow{\text{AB}}$$
- $\overrightarrow{\text{CA}}$는 방향을 반대로 바꾸면 다음과 같습니다.
$$\overrightarrow{\text{CA}} = -\overrightarrow{\text{AC}}$$
이제 이 식들을 원래의 방정식에 대입해 볼까요?
2단계: 방정식에 대입하고 정리하기
원래 식 $2\overrightarrow{\text{AB}} + p\overrightarrow{\text{BC}} = q\overrightarrow{\text{CA}}$에 위에서 구한 식들을 대입합니다.
$$2\overrightarrow{\text{AB}} + p(\overrightarrow{\text{AC}} - \overrightarrow{\text{AB}}) = q(-\overrightarrow{\text{AC}})$$
괄호를 풀고 전개해 봅시다.
$$2\overrightarrow{\text{AB}} + p\overrightarrow{\text{AC}} - p\overrightarrow{\text{AB}} = -q\overrightarrow{\text{AC}}$$
이제 $\overrightarrow{\text{AB}}$를 가진 항과 $\overrightarrow{\text{AC}}$를 가진 항을 각각 묶어서 한쪽 변으로 모두 이항해 정리합니다.
$$(2 - p)\overrightarrow{\text{AB}} + p\overrightarrow{\text{AC}} + q\overrightarrow{\text{AC}} = \vec{0}$$
$$(2 - p)\overrightarrow{\text{AB}} + (p + q)\overrightarrow{\text{AC}} = \vec{0}$$
3단계: '한 직선 위에 있지 않다'는 조건 활용하기
문제에서 세 점 $\text{A, B, C}$는 한 직선 위에 있지 않다고 했습니다. 이 말은 두 벡터 $\overrightarrow{\text{AB}}$와 $\overrightarrow{\text{AC}}$가 서로 평행하지 않고, 영벡터도 아니라는 뜻입니다.
따라서 $(2 - p)\overrightarrow{\text{AB}} + (p + q)\overrightarrow{\text{AC}} = \vec{0}$이 성립하려면, 각 벡터 앞의 계수가 반드시 $0$이 되어야만 합니다.
- $\overrightarrow{\text{AB}}$의 계수:
$$2 - p = 0 \implies p = 2$$
- $\overrightarrow{\text{AC}}$의 계수:
$$p + q = 0$$
$p = 2$를 두 번째 식에 대입하면,
$$2 + q = 0 \implies q = -2$$
4단계: $p-q$의 값 구하기
구한 $p$와 $q$의 값을 이용해 최종 답을 구합니다.
$$p - q = 2 - (-2) = 2 + 2 = 4$$
답
**④ $4$**
확인해보기
선생님이 설명한 개념을 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요!
> 질문: 서로 평행하지 않고 영벡터가 아닌 두 벡터 $\vec{a}, \vec{b}$에 대하여, $(k-3)\vec{a} + (2k+m)\vec{b} = \vec{0}$이 성립할 때, 실수 $k$와 $m$의 값은 각각 무엇일까요? (스스로 공책에 풀어보세요!)