어떤 문제인가
이 문제는 정사각형 안에서 정의된 여러 벡터의 합과 실수배로 표현된 두 벡터의 **내적(Dot Product)이 $0$**이 될 때, 미지수 $k$의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 정사각형과 좌표평면: 도형 문제를 해결할 때, 도형을 좌표평면 위에 올려놓으면 기하학적 문제를 쉬운 대수(좌표) 계산 문제로 바꿀 수 있습니다.
- 벡터의 성분 표시: 시점과 종점의 좌표를 알면 벡터를 $(x, y)$ 성분으로 나타낼 수 있습니다.
- 벡터의 내적: 두 벡터 $\vec{u} = (x_1, y_1)$와 $\vec{v} = (x_2, y_2)$의 내적은 $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2$로 계산합니다.
단계별 풀이
1단계: 정사각형을 좌표평면 위에 나타내기
정사각형의 한 변의 길이가 $1$이므로, 계산을 가장 편리하게 만들기 위해 점 $\text{B}$를 원점 $(0,0)$으로 잡겠습니다.
문제의 그림 설명(왼쪽 위 $\text{A}$, 왼쪽 아래 $\text{B}$, 오른쪽 아래 $\text{C}$, 오른쪽 위 $\text{D}$)에 따라 각 꼭짓점의 좌표를 정하면 다음과 같습니다.
- $\text{B} = (0, 0)$
- $\text{C} = (1, 0)$
- $\text{D} = (1, 1)$
- $\text{A} = (0, 1)$
2단계: 필요한 벡터들을 성분으로 나타내기
두 점 $\text{P}(x_1, y_1)$와 $\text{Q}(x_2, y_2)$에 대해 벡터 $\overrightarrow{\text{PQ}}$는 $\text{Q} - \text{P} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$로 구합니다. 이를 이용해 식에 등장하는 네 벡터를 성분으로 나타내 봅시다.
- $\overrightarrow{\text{AB}} = \text{B} - \text{A} = (0, 0) - (0, 1) = (0, -1)$
- $\overrightarrow{\text{BC}} = \text{C} - \text{B} = (1, 0) - (0, 0) = (1, 0)$
- $\overrightarrow{\text{AC}} = \text{C} - \text{A} = (1, 0) - (0, 1) = (1, -1)$
- $\overrightarrow{\text{CD}} = \text{D} - \text{C} = (1, 1) - (1, 0) = (0, 1)$
3단계: 내적할 두 벡터를 $k$를 사용해 정리하기
이제 문제 식에 있는 두 괄호 안의 벡터를 각각 성분으로 합성해 보겠습니다.
첫 번째 벡터:
$$ \overrightarrow{\text{AB}} + k\overrightarrow{\text{BC}} = (0, -1) + k(1, 0) = (k, -1) $$
두 번째 벡터:
$$ \overrightarrow{\text{AC}} + 3k\overrightarrow{\text{CD}} = (1, -1) + 3k(0, 1) = (1, 3k - 1) $$
4단계: 내적 계산을 통해 $k$ 구하기
두 벡터의 내적이 $0$이므로, 성분끼리의 곱의 합이 $0$이 되어야 합니다.
$$ (\overrightarrow{\text{AB}} + k\overrightarrow{\text{BC}}) \cdot (\overrightarrow{\text{AC}} + 3k\overrightarrow{\text{CD}}) = 0 $$
$$ (k, -1) \cdot (1, 3k - 1) = 0 $$
내적 공식($x$성분끼리의 곱 + $y$성분끼리의 곱)을 적용합니다.
$$ k \times 1 + (-1) \times (3k - 1) = 0 $$
$$ k - 3k + 1 = 0 $$
$$ -2k + 1 = 0 $$
$$ 2k = 1 $$
$$ k = \frac{1}{2} $$
답
**② $\frac{1}{2}$**
확인해보기
만약 정사각형 $\text{ABCD}$의 한 변의 길이가 $1$이 아니라 $2$나 $5$처럼 다른 임의의 양수로 늘어난다면, 실수 $k$의 값은 어떻게 변할까요? 직접 계산해 보거나 직관적으로 생각해 보세요.