어떤 문제인가
이 문제는 두 개의 타원이 등장하고, 타원의 정의와 기하학적 성질을 결합하여 원하는 값을 구하는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리가 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 타원의 정의: 타원 위의 한 점에서 두 초점까지의 거리의 합은 장축의 길이($2a$)로 일정합니다.
- 삼각형의 중점연결정리: 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분은 나머지 한 변과 평행하고, 그 길이는 나머지 한 변의 길이의 $\frac{1}{2}$입니다.
- 타원의 방정식과 초점: 타원의 방정식이 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ (단, $a > b > 0$)일 때, 중심은 원점 $(0,0)$이고 두 초점 사이의 거리는 $2c$ (여기서 $c^2 = a^2 - b^2$)입니다.
단계별 풀이
1단계: 타원 $C$의 성질을 이용해 $\overline{\text{PF}}$의 길이 구하기
먼저 첫 번째 타원 $C$를 살펴봅시다.
두 초점은 $\text{F}(12, 0)$, $\text{F}'(-4, 0)$입니다. 두 초점 사이의 거리 $\overline{\text{F}'\text{F}}$를 구해볼까요?
$$\overline{\text{F}'\text{F}} = 12 - (-4) = 16$$
문제에서 $\overline{\text{F}'\text{F}} = \overline{\text{F}'\text{P}}$라고 했으므로, 점 $\text{P}$에 대해 다음이 성립합니다.
$$\overline{\text{F}'\text{P}} = 16$$
타원 $C$의 장축의 길이가 $24$이므로, 타원의 정의에 의해 타원 위의 점 $\text{P}$에서 두 초점까지의 거리의 합은 $24$가 되어야 합니다.
$$\overline{\text{F}'\text{P}} + \overline{\text{PF}} = 24$$
여기에 $\overline{\text{F}'\text{P}} = 16$을 대입하면,
$$16 + \overline{\text{PF}} = 24 \implies \overline{\text{PF}} = 8$$
이렇게 해서 첫 번째 구하고자 하는 값인 $\overline{\text{PF}} = 8$을 찾았습니다!
2단계: 새로운 타원의 초점과 중심 파악하기
이제 두 번째 타원인 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$을 분석해 봅시다.
이 타원의 식을 보면 중심이 원점 $(0, 0)$임을 알 수 있습니다.
문제에서 이 타원의 한 초점이 $\text{F}'(-4, 0)$이라고 했습니다. 타원은 중심 $(0,0)$에 대해 대칭이므로, 다른 한 초점을 $\text{F}''$라고 한다면 이 점의 좌표는 대칭점인 $\text{F}''(4, 0)$이 됩니다.
따라서 이 타원의 초점 거리 $c$는 중심에서 초점까지의 거리이므로 $c = 4$입니다.
타원의 성질에 의해 다음 식을 얻을 수 있습니다.
$$a^2 - b^2 = c^2 = 4^2 = 16 \quad \cdots \text{ (식 1)}$$
3단계: 삼각형의 중점연결정리를 이용해 $\overline{\text{QF}''}$의 길이 구하기
점 $\text{Q}$는 선분 $\text{F}'\text{P}$의 중점입니다.
따라서 $\overline{\text{F}'\text{Q}}$의 길이는 $\overline{\text{F}'\text{P}}$의 절반입니다.
$$\overline{\text{F}'\text{Q}} = \frac{1}{2} \overline{\text{F}'\text{P}} = \frac{1}{2} \times 16 = 8$$
이제 삼각형 $\text{PF}'\text{F}$를 그려서 생각해 봅시다.
- 점 $\text{Q}$는 변 $\text{F}'\text{P}$의 중점입니다.
- 점 $\text{F}''(4, 0)$은 선분 $\text{F}'\text{F}$의 중점입니다. (왜냐하면 $\text{F}'(-4, 0)$과 $\text{F}(12, 0)$의 중점 좌표가 $(4, 0)$이기 때문입니다.)
삼각형의 두 변의 중점을 연결했으므로, 삼각형의 중점연결정리에 의해 선분 $\text{QF}''$의 길이는 변 $\text{PF}$의 길이의 정확히 절반이 됩니다!
$$\overline{\text{QF}''} = \frac{1}{2} \overline{\text{PF}} = \frac{1}{2} \times 8 = 4$$
4단계: 타원의 정의로 $a^2$과 $b^2$ 구하기
점 $\text{Q}$는 두 번째 타원 위의 점입니다. 이 타원의 두 초점이 $\text{F}'$와 $\text{F}''$이므로, 타원의 정의에 의해 다음이 성립합니다.
$$\overline{\text{QF}'} + \overline{\text{QF}''} = 2a$$
위에서 구한 값들을 대입해 봅시다.
$$8 + 4 = 2a \implies 2a = 12 \implies a = 6$$
따라서,
$$a^2 = 36$$
이제 (식 1)에 $a^2 = 36$을 대입하여 $b^2$을 구합니다.
$$36 - b^2 = 16 \implies b^2 = 20$$
5단계: 최종 값 계산하기
우리가 구하고자 하는 값은 $\overline{\text{PF}} + a^2 + b^2$입니다.
$$\overline{\text{PF}} + a^2 + b^2 = 8 + 36 + 20 = 64$$
답
정답은 **④ $64$** 입니다.
확인해보기
타원의 중심이 원점 $(0,0)$이고 한 초점이 $\text{F}'(-4, 0)$일 때, 왜 다른 초점의 좌표가 자동으로 $\text{F}''(4, 0)$이 되는지 타원의 대칭성을 이용하여 스스로 설명해 보세요.