안녕! 오늘도 수학 실력을 한 단계 더 높이기 위해 함께 문제를 풀어봅시다. 이 문제는 포물선의 정의와 타원의 정의라는 기하학의 아주 중요한 두 가지 개념을 융합한 멋진 문제입니다.
천천히 단계를 밟아가면 전혀 어렵지 않으니, 선생님과 함께 한 단계씩 해결해 봅시다!
어떤 문제인가
이 문제는 주어진 포물선 위의 점을 활용해 최단 거리를 구하고, 그 최단 거리를 이용해 새로운 점 $Q$가 그리는 도형(자취)을 찾아내는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 머릿속에 떠올려야 할 핵심 개념 3가지는 다음과 같습니다.
- 포물선의 정의: 포물선 위의 한 점에서 '초점'까지의 거리와 '준선'까지의 거리는 같습니다.
- 최단 거리 (선분의 합의 최솟값): 꺾인 선의 길이의 합이 최소가 되려면, 일직선(수선)이 되어야 합니다.
- 타원의 정의: 두 정점(초점)으로부터의 거리의 합이 일정한 점들의 자취는 '타원'입니다.
단계별 풀이
1단계: 포물선의 초점과 준선 구하기
먼저 주어진 포물선의 방정식을 분석해 봅시다.
$$(y-2)^2 = 8(x+2)$$
이 포물선은 기본형인 $y^2 = 8x$를 $x$축 방향으로 $-2$만큼, $y$축 방향으로 $2$만큼 평행이동한 것입니다.
- 기본형 $y^2 = 4px$에서 $4p = 8$이므로 $p = 2$입니다.
- 기본형의 초점은 $(2, 0)$, 준선은 $x = -2$입니다.
이제 평행이동을 적용해 볼까요?
- **초점 $F$**: $(2 - 2, 0 + 2) = (0, 2)$
- **준선 $L$**: $x = -2 - 2 \implies x = -4$
앗! 문제에서 준 점 $\mathrm{A}(0, 2)$를 다시 보세요. 바로 이 포물선의 초점이군요!
2단계: $\overline{\mathrm{OP}} + \overline{\mathrm{PA}}$의 최솟값 구하기
포물선의 정의에 의해, 포물선 위의 임의의 점 $\mathrm{P}$에서 초점 $\mathrm{A}$까지의 거리는 점 $\mathrm{P}$에서 준선 $x = -4$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라고 할 때, $\overline{\mathrm{PA}} = \overline{\mathrm{PH}}$와 같습니다.
따라서 우리가 구하고자 하는 식은 다음과 같이 바뀝니다.
$$\overline{\mathrm{OP}} + \overline{\mathrm{PA}} = \overline{\mathrm{OP}} + \overline{\mathrm{PH}}$$
원점 $\mathrm{O}(0,0)$에서 출발하여 포물선 위의 점 $\mathrm{P}$를 거쳐 준선 $x = -4$ 위의 점 $\mathrm{H}$까지 가는 최단 거리를 구하는 상황입니다.
이 값이 최소가 되려면 점 $\mathrm{O}$, $\mathrm{P}$, $\mathrm{H}$가 **$x$축과 평행한 일직선** 위에 있어야 합니다. 즉, 원점 $\mathrm{O}(0,0)$에서 준선 $x = -4$에 내린 수선의 길이 자체가 최솟값이 됩니다.
따라서 최솟값은 원점과 준선 $x = -4$ 사이의 거리인 **$4$**가 됩니다.
$$\overline{\mathrm{OP}_0} + \overline{\mathrm{P}_0\mathrm{A}} = 4$$
3단계: 점 $\mathrm{Q}$의 자취 파악하기
이제 문제의 두 번째 조건을 봅시다.
$$\overline{\mathrm{OQ}} + \overline{\mathrm{QA}} = \overline{\mathrm{OP}_0} + \overline{\mathrm{P}_0\mathrm{A}}$$
위에서 구한 최솟값 $4$를 대입하면 다음과 같습니다.
$$\overline{\mathrm{OQ}} + \overline{\mathrm{QA}} = 4$$
이 식의 의미를 기하학적으로 해석해 볼까요?
> **"두 고정된 점 $\mathrm{O}(0,0)$와 $\mathrm{A}(0,2)$로부터의 거리의 합이 $4$로 일정한 점 $\mathrm{Q}$의 자취"**
이것은 바로 두 점 $\mathrm{O}$와 $\mathrm{A}$를 초점으로 하는 타원의 정의입니다!
4단계: 타원에서 $y$좌표의 최댓값과 최솟값 구하기
이 타원의 성질을 이용해 점 $\mathrm{Q}$의 $y$좌표의 범위를 구해봅시다.
- 타원의 중심: 두 초점 $\mathrm{O}(0,0)$와 $\mathrm{A}(0,2)$의 중점이므로 중심의 좌표는 $(0, 1)$입니다.
- 초점 사이의 거리: 두 초점 사이의 거리는 $2$입니다. 타원의 중심에서 초점까지의 거리 $c = 1$입니다.
- 장축의 길이: 거리의 합이 $4$이므로, 장축의 길이는 $2b = 4 \implies b = 2$입니다. (두 초점이 $y$축 위에 나란히 있으므로 장축은 $y$축과 평행합니다.)
타원의 중심이 $(0,1)$이고, $y$축 방향(세로 방향)으로 가장 길게 늘어진 타원입니다. 중심에서 위아래로 장축의 반인 $b=2$만큼 떨어진 지점이 타원의 꼭짓점이 됩니다.
따라서 점 $\mathrm{Q}$의 $y$좌표의 범위는 다음과 같습니다.
- **최댓값 $M$**: 중심의 $y$좌표 + $b = 1 + 2 = 3$
- **최솟값 $m$**: 중심의 $y$좌표 - $b = 1 - 2 = -1$
5단계: 최종 계산하기
우리가 구하고자 하는 값은 $M^2 + m^2$입니다.
$$M^2 + m^2 = 3^2 + (-1)^2 = 9 + 1 = 10$$
답
③ $10$
확인해보기
공부를 마친 후, 스스로 이해했는지 점검해 보세요.
> 질문: 이 문제에서 점 $\mathrm{Q}$가 그리는 타원의 방정식은 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{(y-1)^2}{b^2} = 1$의 꼴로 나타낼 수 있습니다. 우리가 구한 단서($b=2$, $c=1$)를 이용하여 이 타원의 방정식에서 $a^2$의 값은 무엇이 될지 구해볼까요? (힌트: 타원에서 $a, b, c$ 사이의 관계식을 떠올려 보세요!)