반갑습니다! 오늘도 즐겁게 수학을 공부해 봅시다. 이 문제는 벡터의 연산과 도형의 방정식을 결합한 아주 멋진 문제입니다. 겉보기에는 복잡해 보이지만, 조건을 하나씩 뜯어보면 우리가 잘 아는 '직선'과 '원'의 이야기로 바꿀 수 있어요. 선생님과 함께 단계별로 차근차근 풀어봅시다!
어떤 문제인가
이 문제는 두 가지 조건 (가)와 (나)를 만족하는 점 $\mathrm{X}$가 그리는 도형(집합 $S$)을 찾고, 그중에서 $y$좌표가 가장 큰 점 $\mathrm{Q}$와 가장 작은 점 $\mathrm{R}$을 찾아 두 벡터의 내적을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 벡터의 내적과 수직 조건: 두 벡터의 내적이 $0$이면 두 벡터는 서로 수직입니다.
- 벡터의 평행 조건: 두 벡터가 평행하면 한 벡터는 다른 벡터의 실수배로 나타낼 수 있으며, 기하학적으로는 두 벡터가 가리키는 방향(기울기)이 같습니다.
- 도형의 방정식 (직선과 원): 벡터 방정식을 우리가 익숙한 $x, y$에 대한 방정식으로 변환합니다.
단계별 풀이
1단계: 조건 (가) 해석하기 — 직선과 원 분리하기
조건 (가)는 두 식의 곱이 $0$이 된다고 하고 있습니다.
$$\{(\overrightarrow{\mathrm{OX}} - \overrightarrow{\mathrm{OD}}) \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}\} \times \{|\overrightarrow{\mathrm{OX}} - \overrightarrow{\mathrm{OC}}| - 3\} = 0$$
이 식이 성립하려면 앞의 중괄호가 $0$이거나, 뒤의 중괄호가 $0$이어야 합니다. 즉, 다음 두 가지 경우 중 하나를 만족해야 합니다.
**[경우 1] $(\overrightarrow{\mathrm{OX}} - \overrightarrow{\mathrm{OD}}) \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}} = 0$**
- $\overrightarrow{\mathrm{OX}} - \overrightarrow{\mathrm{OD}} = \overrightarrow{\mathrm{DX}}$이므로, 이 식은 $\overrightarrow{\mathrm{DX}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}} = 0$을 의미합니다. 즉, 두 벡터가 서로 수직이라는 뜻이죠.
- 점의 좌표를 대입해 봅시다. $\mathrm{D}(8, 6)$, $\mathrm{C}(4, 4)$이므로 $\overrightarrow{\mathrm{OC}} = (4, 4)$입니다. 점 $\mathrm{X}$의 좌표를 $(x, y)$라 하면, $\overrightarrow{\mathrm{DX}} = (x-8, y-6)$입니다.
- 내적을 계산하면:
$$(x-8) \times 4 + (y-6) \times 4 = 0 \implies x - 8 + y - 6 = 0 \implies y = -x + 14$$
- 따라서 점 $\mathrm{X}$는 **직선 $y = -x + 14$** 위에 있습니다.
**[경우 2] $|\overrightarrow{\mathrm{OX}} - \overrightarrow{\mathrm{OC}}| - 3 = 0$**
- 이 식은 $|\overrightarrow{\mathrm{CX}}| = 3$으로 바꿀 수 있습니다. 점 $\mathrm{C}$에서 점 $\mathrm{X}$까지의 거리가 항상 $3$이라는 뜻입니다.
- 즉, 점 $\mathrm{X}$는 **중심이 $\mathrm{C}(4, 4)$이고 반지름의 길이가 $3$인 원** 위에 있습니다.
- 원의 방정식으로 나타내면:
$$(x-4)^2 + (y-4)^2 = 9$$
2단계: 조건 (나) 해석하기 — 점 $\mathrm{X}$가 존재할 수 있는 '영역' 구하기
조건 (나)는 "두 벡터 $\overrightarrow{\mathrm{OX}} - \overrightarrow{\mathrm{OP}}$와 $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$가 서로 평행하도록 하는 선분 $\mathrm{AB}$ 위의 점 $\mathrm{P}$가 존재한다"입니다.
- $\overrightarrow{\mathrm{OX}} - \overrightarrow{\mathrm{OP}} = \overrightarrow{\mathrm{PX}}$이므로, **직선 $\mathrm{PX}$가 직선 $\mathrm{OC}$와 평행**해야 합니다.
- 원점 $\mathrm{O}(0,0)$과 $\mathrm{C}(4,4)$를 잇는 직선의 기울기는 $1$입니다. 따라서 점 $\mathrm{P}$를 지나고 기울기가 $1$인 직선 위에 점 $\mathrm{X}$가 있어야 합니다.
- 점 $\mathrm{P}$는 선분 $\mathrm{AB}$ 위의 점입니다. 두 점 $\mathrm{A}(2, 6)$, $\mathrm{B}(6, 2)$를 잇는 선분 $\mathrm{AB}$의 방정식을 구해봅시다.
* 기울기: $\frac{2-6}{6-2} = -1$
* 방정식: $y - 6 = -1(x - 2) \implies y = -x + 8$ (단, $2 \le x \le 6$)
- 선분 $\mathrm{AB}$ 위의 임의의 점 $\mathrm{P}$의 좌표를 $(t, 8-t)$ ($2 \le t \le 6$)라 합시다.
- 점 $\mathrm{P}$를 지나고 기울기가 $1$인 직선의 방정식은 다음과 같습니다:
$$y - (8-t) = 1 \cdot (x - t) \implies y - x = 8 - 2t$$
- $t$의 범위가 $2 \le t \le 6$이므로, $8-2t$가 가질 수 있는 값의 범위를 구해보면:
* $t = 2$일 때, $8 - 2(2) = 4$
* $t = 6$일 때, $8 - 2(6) = -4$
* 즉, $-4 \le 8-2t \le 4$ 입니다.
- 따라서 점 $\mathrm{X}(x, y)$가 존재할 수 있는 영역은 두 평행선 $y = x - 4$와 $y = x + 4$ 사이의 영역(경계선 포함)이 됩니다:
$$-4 \le y - x \le 4$$
3단계: 집합 $S$에서 $y$좌표의 최댓값($\mathrm{Q}$)과 최솟값($\mathrm{R}$) 찾기
이제 1단계에서 구한 도형(직선 또는 원) 중에서, 2단계에서 구한 영역 $-4 \le y - x \le 4$에 포함되는 부분을 찾아야 합니다.
**1) 직선 $y = -x + 14$ 부분**
- 이 직선 식을 영역의 조건에 대입해 봅시다.
$$-4 \le (-x + 14) - x \le 4 \implies -4 \le -2x + 14 \le 4$$
$$-18 \le -2x \le -10 \implies 5 \le x \le 9$$
- 이때 $y = -x + 14$이므로, $y$좌표의 범위는 $5 \le y \le 9$가 됩니다.
- 즉, 이 직선 위에서 **$y$의 최댓값은 $9$** (점 $(5, 9)$), **최솟값은 $5$** (점 $(9, 5)$)입니다.
**2) 원 $(x-4)^2 + (y-4)^2 = 9$ 부분**
- 원의 중심은 $(4, 4)$이고 반지름은 $3$입니다.
- 원 전체에서 $y$좌표가 가장 큰 점은 $(4, 7)$이고, 가장 작은 점은 $(4, 1)$입니다.
- 이 점들이 우리가 구한 영역 $-4 \le y - x \le 4$에 들어가는지 확인해 봅시다.
* 점 $(4, 7)$ 대입: $y - x = 7 - 4 = 3$ (영역 만족!) $\rightarrow$ 원 부분에서 **$y$의 최댓값은 $7$**입니다.
* 점 $(4, 1)$ 대입: $y - x = 1 - 4 = -3$ (영역 만족!) $\rightarrow$ 원 부분에서 **$y$의 최솟값은 $1$**입니다.
3) 최종 비교
- 집합 $S$ 전체에서 $y$좌표가 가장 큰 점 $\mathrm{Q}$는 직선 부분의 최댓값인 $9$를 가질 때입니다.
$$\mathrm{Q}(5, 9)$$
- 집합 $S$ 전체에서 $y$좌표가 가장 작은 점 $\mathrm{R}$은 원 부분의 최솟값인 $1$을 가질 때입니다.
$$\mathrm{R}(4, 1)$$
4단계: 내적 $\overrightarrow{\mathrm{OQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OR}}$ 계산하기
두 점의 좌표를 알았으니 성분을 이용하여 내적을 구합니다.
$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}} = (5, 9), \quad \overrightarrow{\mathrm{OR}} = (4, 1)$$
$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OR}} = 5 \times 4 + 9 \times 1 = 20 + 9 = 29$$
답
정답은 ⑤ ($29$) 입니다.
확인해보기
공부를 마친 후, 스스로의 힘으로 다음 질문에 답해 보며 개념을 다져봅시다.
> 질문: 만약 조건 (나)에서 선분 $\mathrm{AB}$가 아니라, 두 점 $\mathrm{C}(4,4)$와 $\mathrm{D}(8,6)$을 잇는 **선분 $\mathrm{CD}$** 위의 점 $\mathrm{P}$가 존재한다고 조건이 바뀌었다면, 점 $\mathrm{X}$가 존재할 수 있는 영역을 나타내는 부등식은 어떻게 변할까요? (직선 $\mathrm{CD}$의 방정식과 기울기를 이용해 직접 범위를 구해보세요!)