어떤 문제인가
이 문제는 두 쌍곡선의 성질과 등차수열의 개념을 융합한 아주 좋은 기하 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리가 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 쌍곡선의 정의: 쌍곡선 위의 한 점에서 두 초점까지의 거리의 차는 주축의 길이($2a$)로 일정합니다.
- 등차수열의 성질: 세 수 $A, B, C$가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, 가운데 항의 2배는 양 끝 항의 합과 같습니다 ($2B = A + C$).
- 피타고라스 정리와 좌표평면: 세 변의 길이를 통해 직각삼각형을 찾아내고, 이를 이용해 점의 좌표와 직선의 기울기를 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 두 쌍곡선의 초점과 기본 성질 파악하기
먼저 두 쌍곡선 $C_1$과 $C_2$의 초점을 확인해 봅시다. 쌍곡선 방정식 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$에서 초점의 좌표 $c$는 $c^2 = a^2 + b^2$을 만족합니다.
- **쌍곡선 $C_1 : x^2 - \frac{y^2}{24} = 1$**
$a_1^2 = 1$, $b_1^2 = 24$ 이므로, $c^2 = 1 + 24 = 25 \implies c = 5$
따라서 초점은 $\text{F}(5, 0)$, $\text{F}'(-5, 0)$ 이고, 주축의 길이는 $2a_1 = 2$ 입니다.
- **쌍곡선 $C_2 : \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{21} = 1$**
$a_2^2 = 4$, $b_2^2 = 21$ 이므로, $c^2 = 4 + 21 = 25 \implies c = 5$
따라서 $C_2$ 역시 $C_1$과 같은 초점 $\text{F}(5, 0)$, $\text{F}'(-5, 0)$을 공유합니다. 주축의 길이는 $2a_2 = 4$ 입니다.
이제 쌍곡선의 정의를 이용해 식을 세워봅시다.
점 $\text{P}$는 $C_1$의 제2사분면(왼쪽 가지) 위의 점이므로, 오른쪽 초점 $\text{F}$까지의 거리가 왼쪽 초점 $\text{F}'$까지의 거리보다 더 깁니다.
$$\overline{\text{PF}} - \overline{\text{PF}'} = 2 \quad \cdots \text{(ㄱ)}$$
점 $\text{Q}$는 $C_2$의 왼쪽 가지 위의 점이므로 마찬가지로 다음이 성립합니다.
$$\overline{\text{QF}} - \overline{\text{QF}'} = 4 \quad \cdots \text{(ㄴ)}$$
2단계: 등차수열 조건 활용하여 선분의 길이 구하기
문제에서 세 값 $\overline{\text{PQ}} + \overline{\text{QF}}$, $2\overline{\text{PF}'}$, $\overline{\text{PF}} + \overline{\text{PF}'}$이 이 순서대로 등차수열을 이룬다고 했습니다. 등차중항의 성질을 적용해 봅시다.
$$2 \times (2\overline{\text{PF}'}) = (\overline{\text{PQ}} + \overline{\text{QF}}) + (\overline{\text{PF}} + \overline{\text{PF}'})$$
$$4\overline{\text{PF}'} = \overline{\text{PQ}} + \overline{\text{QF}} + \overline{\text{PF}} + \overline{\text{PF}'} \quad \cdots \text{(ㄷ)}$$
이때, 점 $\text{Q}$는 선분 $\text{PF}'$ 위의 점이므로 $\overline{\text{PF}'} = \overline{\text{PQ}} + \overline{\text{QF}'}$가 성립합니다. 즉, $\overline{\text{PQ}} = \overline{\text{PF}'} - \overline{\text{QF}'}$ 입니다.
이를 식 (ㄷ)의 $\overline{\text{PQ}}$ 자리에 대입해 정리해 봅시다.
$$4\overline{\text{PF}'} = (\overline{\text{PF}'} - \overline{\text{QF}'}) + \overline{\text{QF}} + \overline{\text{PF}} + \overline{\text{PF}'}$$
$$4\overline{\text{PF}'} = 2\overline{\text{PF}'} + \overline{\text{PF}} + (\overline{\text{QF}} - \overline{\text{QF}'})$$
양변에서 $2\overline{\text{PF}'}$를 빼주면 다음과 같습니다.
$$2\overline{\text{PF}'} = \overline{\text{PF}} + (\overline{\text{QF}} - \overline{\text{QF}'})$$
여기에 쌍곡선 $C_2$의 정의인 식 (ㄴ) ($\overline{\text{QF}} - \overline{\text{QF}'} = 4$)을 대입합니다.
$$2\overline{\text{PF}'} = \overline{\text{PF}} + 4 \quad \cdots \text{(ㄹ)}$$
이제 식 (ㄱ) ($\overline{\text{PF}} = \overline{\text{PF}'} + 2$)을 식 (ㄹ)에 대입합니다.
$$2\overline{\text{PF}'} = (\overline{\text{PF}'} + 2) + 4$$
$$\overline{\text{PF}'} = 6$$
따라서, $\overline{\text{PF}} = 6 + 2 = 8$ 임을 알 수 있습니다.
3단계: 직각삼각형 발견과 점 $\text{P}$의 좌표 구하기
우리가 구한 삼각형 $\text{PFF}'$의 세 변의 길이를 살펴봅시다.
- $\overline{\text{PF}'} = 6$
- $\overline{\text{PF}} = 8$
- $\overline{\text{FF}'} = 2c = 10$
세 변의 길이의 비가 $6 : 8 : 10 = 3 : 4 : 5$ 이므로, 피타고라스 정리에 의해 $\triangle\text{PFF}'$는 $\angle\text{F'PF} = 90^\circ$인 직각삼각형입니다!
이제 점 $\text{P}(x, y)$의 좌표를 구해봅시다. 점 $\text{P}$는 쌍곡선 $C_1$ 위의 점이므로 다음 식을 만족합니다.
$$x^2 - \frac{y^2}{24} = 1 \implies y^2 = 24(x^2 - 1) \quad \cdots \text{(ㅁ)}$$
또한, 점 $\text{P}$에서 초점 $\text{F}'(-5, 0)$까지의 거리가 $6$이므로 거리 공식을 씁니다.
$$(x+5)^2 + y^2 = 36$$
여기에 식 (ㅁ)을 대입하여 $x$에 대한 방정식을 풉니다.
$$(x+5)^2 + 24(x^2 - 1) = 36$$
$$x^2 + 10x + 25 + 24x^2 - 24 = 36$$
$$25x^2 + 10x - 35 = 0$$
$$5x^2 + 2x - 7 = 0$$
$$(5x + 7)(x - 1) = 0$$
점 $\text{P}$는 제2사분면 위의 점이므로 $x$ 좌표는 음수여야 합니다.
$$x = -\frac{7}{5}$$
이 값을 식 (ㅁ)에 대입하여 $y$ 좌표를 구합니다. (제2사분면이므로 $y > 0$)
$$y^2 = 24\left(\frac{49}{25} - 1\right) = 24 \times \frac{24}{25} = \frac{24^2}{25}$$
$$y = \frac{24}{5}$$
따라서 점 $\text{P}$의 좌표는 $\left(-\frac{7}{5}, \frac{24}{5}\right)$ 입니다.
4단계: 직선 $\text{PQ}$의 기울기 $m$과 $60m$ 구하기
직선 $\text{PQ}$는 점 $\text{P}$와 점 $\text{Q}$, 그리고 초점 $\text{F}'(-5, 0)$을 지나는 직선과 같습니다. 따라서 두 점 $\text{F}'(-5, 0)$과 $\text{P}\left(-\frac{7}{5}, \frac{24}{5}\right)$를 지나는 직선의 기울기 $m$을 구하면 됩니다.
$$m = \frac{\frac{24}{5} - 0}{-\frac{7}{5} - (-5)} = \frac{\frac{24}{5}}{\frac{18}{5}} = \frac{24}{18} = \frac{4}{3}$$
우리가 최종적으로 구해야 하는 값은 $60m$입니다.
$$60m = 60 \times \frac{4}{3} = 80$$
답
$$80$$
확인해보기
질문: 만약 점 $\text{P}$가 제2사분면이 아니라 제3사분면에 있는 쌍곡선 $C_1$ 위의 점이었다면, 직선 $\text{PQ}$의 기울기 $m$과 최종 답 $60m$은 어떻게 변했을까요? 쌍곡선의 대칭성을 생각하며 스스로 답해 보세요!