어떤 문제인가
이 문제는 두 점 $\text{P}$와 $\text{Q}$의 위치 벡터의 합으로 정의된 새로운 점 $\text{X}$가 나타내는 영역의 넓이를 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 것입니다:
- 벡터의 성분 표시: 도형 위의 점들을 좌표(성분)로 나타내어 대수적으로 접근합니다.
- 매개변수 소거: 두 점의 움직임을 하나의 관계식으로 합치기 위해 매개변수를 소거합니다.
- 코시-슈바르츠 부등식 (또는 판별식): 타원 위의 점의 좌표 범위를 구하기 위해 최대·최소를 구하는 수학적 도구를 사용합니다.
단계별 풀이
1단계: 점 $\text{P}$, $\text{Q}$, $\text{X}$를 좌표로 나타내기
먼저, 점 $\text{P}$는 직선 $2x+y=0$ 위의 점이므로, $x$좌표를 $t$라고 두면 $y$좌표는 $-2t$가 됩니다.
$$P(t, -2t) \quad (\text{단, } t\text{는 실수})$$
점 $\text{Q}$는 타원 $2x^2+y^2=3$ 위의 점이므로, 그 좌표를 $(u, v)$라고 합시다. 이 점은 타원 위의 점이므로 다음 식을 만족합니다.
$$2u^2 + v^2 = 3 \quad \cdots \text{ (식 1)}$$
이제 우리가 구하고자 하는 점 $\text{X}(x, y)$는 $\overrightarrow{\text{OX}} = \overrightarrow{\text{OP}} + \overrightarrow{\text{OQ}}$를 만족하므로, 두 점의 좌표를 더해서 얻을 수 있습니다.
$$x = t + u \quad \cdots \text{ (식 2)}$$
$$y = -2t + v \quad \cdots \text{ (식 3)}$$
2단계: 매개변수 $t$를 소거하여 $x, y$와 $u, v$의 관계식 만들기
우리는 $t$의 값에 상관없이 $x$와 $y$가 어떤 관계를 가지는지 알고 싶습니다. 따라서 (식 2)와 (식 3)에서 $t$를 없애봅시다.
(식 2)에서 $t = x - u$입니다. 이를 (식 3)에 대입해 볼까요?
$$y = -2(x - u) + v$$
$$y = -2x + 2u + v$$
이 식을 정리하면 아주 흥미로운 관계식을 얻을 수 있습니다.
$$2x + y = 2u + v \quad \cdots \text{ (식 4)}$$
이 식은 **"점 $\text{X}(x, y)$의 $2x+y$ 값은 타원 위의 점 $\text{Q}(u, v)$의 $2u+v$ 값과 같다"**는 것을 의미합니다.
3단계: $2u+v$의 범위 구하기 (코시-슈바르츠 부등식 활용)
이제 타원 $2u^2 + v^2 = 3$을 만족하는 실수 $u, v$에 대하여, $2u+v$가 가질 수 있는 값의 범위를 구해봅시다. 여기서 코시-슈바르츠 부등식을 사용하면 편리합니다.
우리가 가진 식 $2u^2 + v^2 = 3$의 형태를 만들기 위해, $2u+v$를 다음과 같이 변형합니다.
$$2u + v = \sqrt{2}(\sqrt{2}u) + 1(v)$$
코시-슈바르츠 부등식 $((a^2+b^2)(x^2+y^2) \ge (ax+by)^2)$에 의해 다음이 성립합니다.
$$\left( (\sqrt{2})^2 + 1^2 \right) \left( (\sqrt{2}u)^2 + v^2 \right) \ge \left( \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}u + 1 \cdot v \right)^2$$
값을 대입해 봅시다.
$$(2 + 1)(2u^2 + v^2) \ge (2u + v)^2$$
$$3 \cdot 3 \ge (2u + v)^2$$
$$(2u + v)^2 \le 9$$
따라서 $2u+v$의 범위는 다음과 같습니다.
$$-3 \le 2u + v \le 3$$
(식 4)에 의해 $2x+y = 2u+v$이므로, 점 $\text{X}$가 만족하는 영역의 식은 다음과 같습니다.
$$-3 \le 2x + y \le 3$$
4단계: 조건에 맞는 영역의 넓이 구하기
문제에서 점 $\text{X}$의 $x$좌표와 $y$좌표가 모두 $0$ 이상이라고 했습니다. 즉, $x \ge 0, y \ge 0$ (제1사분면과 축 위)입니다.
이 조건 하에서는 $2x+y \ge 0$이 항상 성립하므로, 우리가 구하는 영역은 다음 세 부등식을 동시에 만족하는 영역입니다.
- $2x + y \le 3$
- $x \ge 0$
- $y \ge 0$
이 영역을 좌표평면에 나타내면, 세 직선 $x=0$ ($y$축), $y=0$ ($x$축), 그리고 $2x+y=3$으로 둘러싸인 직각삼각형이 됩니다.
- $x$절편 ($y=0$일 때): $2x = 3 \implies x = \frac{3}{2}$
- $y$절편 ($x=0$일 때): $y = 3$
따라서 이 직각삼각형의 넓이 $S$는 다음과 같습니다.
$$S = \frac{1}{2} \times \text{밑변} \times \text{높이} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} \times 3 = \frac{9}{4}$$
이 값이 $\frac{q}{p}$이므로, 서로소인 두 자연수 $p, q$는 각각 $p=4, q=9$입니다.
따라서 구하고자 하는 값은 다음과 같습니다.
$$p+q = 4 + 9 = 13$$
답
$$13$$
확인해보기
만약 문제에서 점 $\text{P}$가 움직이는 직선이 $2x+y=0$이 아니라 $x+y=0$이었다면, 단계 2에서 $x, y$와 $u, v$ 사이에는 어떤 관계식(예: $x+y = \text{?}$)이 성립하게 될까요? 스스로 식을 유도해 보세요.