어떤 문제인가
이 문제는 주어진 5개의 문자 $a$, $a$, $b$, $c$, $d$를 일렬로 나열하는 경우의 수를 구하는 문제입니다.
여기서 가장 중요한 포인트는 **똑같은 문자 $a$가 2개 포함되어 있다**는 점입니다. 만약 모든 문자가 서로 달랐다면 단순한 순열로 풀 수 있겠지만, 같은 문자가 있을 때는 중복되는 경우를 제외해 주어야 합니다.
이 문제를 풀기 위해 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- **순열 ($n!$):** 서로 다른 $n$개를 일렬로 나열하는 방법의 수
- 같은 것이 있는 순열: 나열하려는 대상 중에 같은 것이 섞여 있을 때, 중복을 제거하기 위해 나누어주는 방법
단계별 풀이
1단계: 모든 문자가 서로 다르다고 가정하고 나열해 보기
먼저, 두 개의 $a$가 서로 다른 문자(예를 들어 $a_1$과 $a_2$)라고 가정해 봅시다.
그렇다면 우리는 서로 다른 5개의 문자 $a_1$, $a_2$, $b$, $c$, $d$를 일렬로 나열하는 것이 됩니다.
서로 다른 5개를 일렬로 나열하는 경우의 수는 $5!$ (5 팩토리얼)로 계산할 수 있습니다.
$$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$$
2단계: 중복되는 경우 생각하기
하지만 실제로는 $a_1$과 $a_2$는 구분할 수 없는 똑같은 문자 $a$입니다.
예를 들어, 1단계에서 구한 120가지 중에는 다음과 같은 두 가지 경우가 있습니다.
- $a_1 - a_2 - b - c - d$
- $a_2 - a_1 - b - c - d$
이 두 경우는 $a_1$과 $a_2$를 구분할 때는 서로 다른 경우이지만, 실제로는 둘 다 똑같이 $a - a - b - c - d$가 됩니다. 즉, $a$ 2개가 자리를 바꾸는 방법의 수인 $2!$가지만큼 중복해서 세어준 것입니다.
3단계: 중복을 제외하여 진짜 경우의 수 구하기
따라서 전체 경우의 수 $5!$에서 중복되는 만큼인 $2!$로 나누어 주어야 정확한 경우의 수가 나옵니다.
식으로 나타내면 다음과 같습니다.
$$\frac{5!}{2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1}$$
분모와 분자를 약분하여 계산해 봅시다.
$$\frac{5 \times 4 \times 3 \times \cancel{2} \times \cancel{1}}{\cancel{2} \times \cancel{1}} = 5 \times 4 \times 3 = 60$$
따라서 구하고자 하는 경우의 수는 $60$가지입니다.
답
③ 60
확인해보기
오늘 배운 '같은 것이 있는 순열' 개념을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요?
> 질문: 만약 문자가 $a$, $a$, $a$, $b$, $c$로, **$a$가 3개**이고 $b, c$가 각각 1개씩 있다면, 이 5개의 문자를 모두 일렬로 나열하는 경우의 수는 몇 가지가 될까요? (직접 식을 세워 계산해 보세요!)