어떤 문제인가
이 문제는 두 사건 $A$와 $B$의 관계를 나타내는 확률들이 주어졌을 때, 합사건의 확률인 $\mathrm{P}(A \cup B)$를 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 머릿속으로 벤 다이어그램(Venn Diagram)을 그리며 다음 2가지 핵심 개념을 적용해 볼 거예요.
- 여사건의 확률: 어떤 사건이 일어나지 않을 확률 $\mathrm{P}(B^C)$를 알면, 그 사건이 일어날 확률 $\mathrm{P}(B)$를 구할 수 있습니다. ($\mathrm{P}(B) = 1 - \mathrm{P}(B^C)$)
- 사건의 분할: 합집합 영역 $A \cup B$를 서로 겹치지 않는(서로소인) 두 영역으로 나누어 확률을 더하는 방법을 이해합니다.
단계별 풀이
1단계: 여사건의 확률로 $\mathrm{P}(B)$ 구하기
문제에서 $B$의 여사건의 확률이 $\mathrm{P}(B^C) = \frac{7}{18}$이라고 주어졌습니다.
사건 $B$가 일어날 확률과 일어나지 않을 확률의 합은 항상 $1$이므로, 다음과 같이 $\mathrm{P}(B)$를 구할 수 있습니다.
$$\mathrm{P}(B) = 1 - \mathrm{P}(B^C)$$
$$\mathrm{P}(B) = 1 - \frac{7}{18} = \frac{11}{18}$$
2단계: 벤 다이어그램으로 영역 나누어 생각하기
우리가 구하고자 하는 것은 $\mathrm{P}(A \cup B)$입니다. 벤 다이어그램에서 $A \cup B$ 영역은 다음과 같이 겹치지 않는 두 부분으로 쪼개어 생각할 수 있습니다.
- **$A$에만 속하는 부분**: $A \cap B^C$ (A이면서 B는 아닌 부분)
- **$B$에 속하는 전체 부분**: $B$
이 두 영역은 서로 겹치는 부분이 전혀 없기 때문에, 두 영역의 확률을 그냥 더해주기만 하면 합집합의 확률이 됩니다. 즉, 아래와 같은 식을 세울 수 있습니다.
$$\mathrm{P}(A \cup B) = \mathrm{P}(A \cap B^C) + \mathrm{P}(B)$$
3단계: 값 대입하여 계산하기
이제 문제에서 주어진 값과 1단계에서 구한 값을 식에 대입해 봅시다.
- $\mathrm{P}(A \cap B^C) = \frac{1}{9}$
- $\mathrm{P}(B) = \frac{11}{18}$
$$\mathrm{P}(A \cup B) = \frac{1}{9} + \frac{11}{18}$$
분모를 $18$로 통분하여 계산합니다.
$$\mathrm{P}(A \cup B) = \frac{2}{18} + \frac{11}{18} = \frac{13}{18}$$
따라서 구하고자 하는 확률은 $\frac{13}{18}$입니다.
답
**④ $\frac{13}{18}$**
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요!
> 질문:
> 만약 어떤 두 사건 $A, B$에 대하여 $A$가 일어날 확률이 $\mathrm{P}(A) = \frac{1}{2}$이고, $A$와 $B$가 동시에 일어날 확률이 $\mathrm{P}(A \cap B) = \frac{1}{6}$이라고 합니다. 이때, $A$는 일어나지만 $B$는 일어나지 않을 확률인 $\mathrm{P}(A \cap B^C)$는 어떻게 구할 수 있을까요? (벤 다이어그램을 그려서 영역을 빼는 생각을 해보세요!)