어떤 문제인가
이 문제는 여러 개의 물건 중에서 몇 개를 동시에 꺼낼 때, 특정 조건(여기서는 '흰색 손수건이 2장 이상')을 만족할 확률을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- **조합 (Combination, $_n\mathrm{C}_r$ 또는 $\binom{n}{r}$)**: 순서와 상관없이 전체 $n$개 중에서 $r$개를 선택하는 방법의 수입니다.
- 확률의 기본 정의: (사건 $A$가 일어날 경우의 수) / (일어날 수 있는 모든 경우의 수)
- 사건의 분류 (합의 법칙): '2장 이상'이라는 조건을 만족하는 경우를 빠짐없이, 중복 없이 나누어 생각하는 방법입니다.
단계별 풀이
1단계: 모든 경우의 수 구하기
먼저 상자 안에 있는 전체 손수건의 개수를 확인해 봅시다.
- 흰색 손수건: 4장
- 검은색 손수건: 5장
- 전체 손수건: $4 + 5 = 9$장
이 9장의 손수건 중에서 임의로 4장을 동시에 꺼내는 것이므로, 순서에 상관없이 4장을 고르는 모든 경우의 수는 조합을 이용하여 다음과 같이 구할 수 있습니다.
$$\binom{9}{4} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$$
따라서 모든 경우의 수는 **$126$**입니다.
2단계: '흰색 손수건이 2장 이상' 나오는 경우 분류하기
우리가 구하고자 하는 사건은 꺼낸 4장의 손수건 중 흰색 손수건이 2장 이상인 경우입니다. 4장을 꺼낼 때 흰색 손수건이 나올 수 있는 개수는 다음과 같이 세 가지 경우로 분류할 수 있습니다.
- 경우 1: 흰색 손수건 2장, 검은색 손수건 2장을 꺼내는 경우
- 경우 2: 흰색 손수건 3장, 검은색 손수건 1장을 꺼내는 경우
- 경우 3: 흰색 손수건 4장, 검은색 손수건 0장을 꺼내는 경우
이제 각 경우의 수를 각각 구해봅시다.
3단계: 각 경우의 수 계산하기
[경우 1] 흰색 2장, 검은색 2장을 꺼내는 경우
흰색 4장 중 2장을 고르고, 검은색 5장 중 2장을 고르는 방법입니다. 두 사건이 동시에 일어나므로 곱의 법칙을 사용합니다.
$$\binom{4}{2} \times \binom{5}{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} \times \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 6 \times 10 = 60$$
[경우 2] 흰색 3장, 검은색 1장을 꺼내는 경우
흰색 4장 중 3장을 고르고, 검은색 5장 중 1장을 고르는 방법입니다.
$$\binom{4}{3} \times \binom{5}{1} = 4 \times 5 = 20$$
[경우 3] 흰색 4장, 검은색 0장을 꺼내는 경우
흰색 4장 중 4장을 모두 고르고, 검은색 5장 중에서는 고르지 않는 방법입니다.
$$\binom{4}{4} \times \binom{5}{0} = 1 \times 1 = 1$$
4단계: 조건에 맞는 총 경우의 수와 확률 구하기
위의 세 가지 경우는 동시에 일어날 수 없으므로(배반사건), 각 경우의 수를 모두 더해줍니다.
$$\text{조건을 만족하는 경우의 수} = 60 + 20 + 1 = 81$$
이제 확률의 정의에 따라, (조건을 만족하는 경우의 수)를 (모든 경우의 수)로 나누어 줍니다.
$$\text{확률} = \frac{81}{126}$$
분모와 분자를 각각 $9$로 약분하여 가장 간단한 기약분수로 나타내어 봅시다.
$$\frac{81 \div 9}{126 \div 9} = \frac{9}{14}$$
답
**③ $\frac{9}{14}$**
확인해보기
이 문제를 풀 때 '흰색 손수건이 2장 이상일 확률'을 직접 구하는 대신, 전체 확률 $1$에서 반대되는 사건(여사건)의 확률을 빼서 구할 수도 있습니다.
질문: '흰색 손수건이 2장 이상'의 반대 사건(여사건)은 구체적으로 어떤 경우들을 말하는 것일까요? (직접 계산하지 말고 말로 설명해 보세요.)