어떤 문제인가
이 문제는 두 다항식의 곱으로 이루어진 식에서 특정 차수($x^2$)의 계수를 찾는 문제입니다. 복잡해 보이지만, 식 전체를 다 전개할 필요 없이 우리가 원하는 항만 쏙쏙 골라내면 됩니다.
이 문제를 풀기 위해 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 이항정리 (Binomial Theorem): $(a+b)^n$을 전개했을 때의 일반항을 구하는 공식입니다.
- 일반항의 곱: 두 다항식의 일반항을 각각 구한 뒤, 이들을 곱해 우리가 원하는 $x^2$ 항이 나오는 조합을 찾습니다.
단계별 풀이
1단계: 각 다항식의 일반항 구하기
두 다항식 $(x-1)^6$과 $(2x+1)^7$의 일반항을 각각 구해보겠습니다. 서로 다른 주머니에서 문자를 고르는 것과 같으므로, 각각 다른 문자 $r$과 $s$를 사용해 일반항을 나타내야 합니다.
- **$(x-1)^6$의 일반항**
이항정리에 의해, $x$를 $r$번 선택하고 $-1$을 $6-r$번 선택한다고 생각하면 일반항은 다음과 같습니다. (단, $0 \le r \le 6$인 정수)
$$\binom{6}{r} x^r (-1)^{6-r}$$
- **$(2x+1)^7$의 일반항**
마찬가지로 $2x$를 $s$번 선택하고 $1$을 $7-s$번 선택한다고 생각하면 일반항은 다음과 같습니다. (단, $0 \le s \le 7$인 정수)
$$\binom{7}{s} (2x)^s (1)^{7-s} = \binom{7}{s} 2^s x^s$$
2단계: 두 일반항을 곱해 전체 식의 일반항 만들기
이제 두 일반항을 곱해서 전체 전개식의 일반항을 만들어 봅시다. 숫자(계수) 부분과 문자($x$) 부분을 나누어 정리하는 것이 포인트입니다.
$$\left[ \binom{6}{r} (-1)^{6-r} x^r \right] \times \left[ \binom{7}{s} 2^s x^s \right]$$
이 식을 정리하면 다음과 같습니다.
$$\binom{6}{r} \binom{7}{s} (-1)^{6-r} 2^s \cdot x^{r+s}$$
우리가 구하고자 하는 것은 **$x^2$의 계수**이므로, $x$의 지수인 $r+s$가 **$2$**가 되어야 합니다.
$$r+s = 2$$
3단계: 조건에 맞는 $(r, s)$ 순서쌍 찾기
$r$과 $s$는 음이 아닌 정수이므로, 합해서 $2$가 되는 조합은 다음 세 가지 경우밖에 없습니다.
- **$r=0, s=2$ 인 경우**
- **$r=1, s=1$ 인 경우**
- **$r=2, s=0$ 인 경우**
각각의 경우에 대해 계수 값을 계산해 봅시다.
4단계: 각 경우의 계수 계산하고 더하기
- **경우 1) $r=0, s=2$ 일 때**
계수 식 $\binom{6}{r} \binom{7}{s} (-1)^{6-r} 2^s$에 대입합니다.
$$\binom{6}{0} \binom{7}{2} (-1)^6 2^2 = 1 \times 21 \times 1 \times 4 = 84$$
- **경우 2) $r=1, s=1$ 일 때**
$$\binom{6}{1} \binom{7}{1} (-1)^5 2^1 = 6 \times 7 \times (-1) \times 2 = -84$$
- **경우 3) $r=2, s=0$ 일 때**
$$\binom{6}{2} \binom{7}{0} (-1)^4 2^0 = 15 \times 1 \times 1 \times 1 = 15$$
이제 이 세 가지 경우의 계수를 모두 더하면 우리가 찾는 $x^2$의 최종 계수가 됩니다.
$$\text{계수의 합} = 84 + (-84) + 15 = 15$$
답
**① $15$**
확인해보기
공부한 내용을 바탕으로 스스로 생각해보세요!
> 다항식 $(x+1)^4(2x-1)^3$의 전개식에서 **$x$의 계수**를 구하려고 합니다.
> 이때, 두 일반항의 지수의 합이 $1$이 되어야 하므로 $r+s=1$이 되어야 합니다.
> 그렇다면 이때 가능한 $(r, s)$ 순서쌍은 어떤 것들이 있을까요? (직접 순서쌍을 구해보세요.)