어떤 문제인가
이 문제는 특정 조건이 주어졌을 때 다른 사건이 일어날 확률을 구하는 조건부확률 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 조건부확률: 사건 $A$가 일어났다는 조건 하에 사건 $B$가 일어날 확률은 $P(B|A) = \frac{n(A \cap B)}{n(A)}$로 구합니다. 즉, 전체 경우의 수가 아니라 **조건을 만족하는 경우의 수 $n(A)$**를 분모로 두고 문제를 푸는 것입니다.
- 4의 배수가 되는 조건: 두 수의 곱 $a \times b$가 4의 배수가 되려면, 두 수 중 적어도 하나가 4이거나, 두 수 모두 2 또는 6(짝수)이어야 합니다.
단계별 풀이
1단계: 조건 만족하는 경우의 수 구하기 ($a \times b$가 4의 배수인 경우)
먼저 주사위를 두 번 던져 나오는 눈 $a, b$의 곱이 4의 배수가 되는 모든 경우(사건 $A$)를 찾아봅시다.
곱이 4의 배수가 되려면 $a$와 $b$의 소인수 분해 결과에 2가 최소한 2개 이상 있어야 합니다. 이를 기준으로 경우를 나누어 세어볼게요.
- **경우 1: $a$ 또는 $b$ 중 적어도 하나가 4인 경우** (4는 이미 2를 두 개 가지고 있으므로, 다른 수는 아무것이나 와도 됩니다.)
* $a = 4$인 경우: $(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)$ $\rightarrow$ 6가지
* $b = 4$인 경우: $(1, 4), (2, 4), (3, 4), (4, 4), (5, 4), (6, 4)$ $\rightarrow$ 6가지
* 이때 중복되는 $(4, 4)$ 1가지를 제외하면: $6 + 6 - 1 = 11$가지
- 경우 2: 둘 다 4가 아니면서, 둘 다 짝수인 경우 (즉, $a, b$가 $\{2, 6\}$ 중에서 나오는 경우)
* $a$와 $b$가 각각 2 또는 6이 되어야 곱했을 때 4의 배수가 됩니다.
* 가능한 순서쌍: $(2, 2), (2, 6), (6, 2), (6, 6)$ $\rightarrow$ 4가지
따라서 $a \times b$가 4의 배수가 되는 총 경우의 수 $n(A)$는 다음과 같습니다.
$$n(A) = 11 + 4 = 15$$
2단계: 조건 안에서 우리가 원하는 사건의 경우의 수 구하기 ($a+b \le 7$인 경우)
이제 위에서 구한 15가지 경우 중에서, 두 눈의 합이 7 이하인 경우(사건 $A \cap B$)를 골라내 봅시다.
15가지 경우를 하나씩 확인해 볼까요?
- 경우 1에서 합이 7 이하인 것:
* $(4, 1) \rightarrow 4+1=5 \le 7$ (O)
* $(4, 2) \rightarrow 4+2=6 \le 7$ (O)
* $(4, 3) \rightarrow 4+3=7 \le 7$ (O)
* $(1, 4) \rightarrow 1+4=5 \le 7$ (O)
* $(2, 4) \rightarrow 2+4=6 \le 7$ (O)
* $(3, 4) \rightarrow 3+4=7 \le 7$ (O)
* (나머지 $(4,4), (4,5), (4,6), (5,4), (6,4)$는 합이 7보다 큽니다.)
- 경우 2에서 합이 7 이하인 것:
* $(2, 2) \rightarrow 2+2=4 \le 7$ (O)
* (나머지 $(2,6), (6,2), (6,6)$은 합이 8 이상이므로 제외됩니다.)
만족하는 순서쌍을 모두 모으면 $(4,1), (4,2), (4,3), (1,4), (2,4), (3,4), (2,2)$로 총 7가지입니다.
$$n(A \cap B) = 7$$
3단계: 조건부확률 계산하기
$a \times b$가 4의 배수일 때, $a+b \le 7$일 확률은 다음과 같이 계산합니다.
$$P(B|A) = \frac{n(A \cap B)}{n(A)} = \frac{7}{15}$$
답
**② $\frac{7}{15}$**
확인해보기
위에서 설명한 개념을 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요!
> [질문]
> 한 개의 주사위를 두 번 던질 때 나오는 눈의 수를 차례로 $a$, $b$라 하자.
> $a \times b$가 홀수일 때, $a+b \le 6$일 확률은 얼마일까요?
> (힌트: 두 수의 곱이 홀수가 되려면 $a$와 $b$는 각각 어떤 수여야 할지 먼저 생각해 보세요!)