어떤 문제인가
이 문제는 주어진 세 가지 조건 (가), (나), (다)를 모두 만족하는 함수 $f : X \to X$의 개수를 구하는 문제입니다. 문제를 풀기 위해 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 곱이 홀수가 될 조건: 여러 수의 곱이 홀수가 되려면, 곱해지는 모든 수가 홀수여야 합니다.
- 조합과 순서: $f(2) < f(4)$처럼 대소 관계가 정해져 있는 경우, 공역에서 원소를 선택(조합)하기만 하면 순서는 자동으로 결정됩니다.
- 치역의 원소 개수와 경우 분류: 치역의 원소가 딱 3개가 되도록, $f(1), f(3), f(5)$가 가지는 값의 개수(1개, 2개, 3개)를 기준으로 경우를 나누어 생각합니다.
단계별 풀이
1단계: 조건 (가)와 (나) 해석하기
먼저 조건들을 단순하게 만들어 봅시다.
- 조건 (가): $f(1) \times f(3) \times f(5)$는 홀수이다.
곱해서 홀수가 되려면 세 값 모두 홀수여야 합니다. 집합 $X = \{1, 2, 3, 4, 5\}$에서 홀수는 $\{1, 3, 5\}$뿐이므로, 다음이 성립합니다.
$$f(1), f(3), f(5) \in \{1, 3, 5\}$$
- 조건 (나): $f(2) < f(4)$
이 조건은 $f(2)$와 $f(4)$의 값이 서로 달라야 함을 의미합니다. 공역 $X$에서 서로 다른 두 수를 고르기만 하면, 작은 수가 $f(2)$, 큰 수가 $f(4)$가 되므로 순서를 고려하지 않고 조합으로 선택하면 됩니다.
편의를 위해 두 집합을 정의합시다.
- $f(1), f(3), f(5)$의 함숫값들의 집합을 $A$라고 합시다. ($A \subseteq \{1, 3, 5\}$)
- $f(2), f(4)$의 함숫값들의 집합을 $B$라고 합시다. ($B \subseteq X$, $|B| = 2$)
함수 $f$의 치역은 $A \cup B$가 됩니다. 조건 (다)에 의해 치역의 원소 개수는 3개이므로, 다음을 만족해야 합니다.
$$|A \cup B| = 3$$
이제 $A$의 원소 개수 $|A|$에 따라 경우를 나누어 풀어봅시다. $A$는 $\{1, 3, 5\}$의 부분집합이므로 $|A|$는 1, 2, 3 중 하나입니다.
2단계: [경우 1] $|A| = 1$인 경우
$f(1), f(3), f(5)$가 모두 같은 하나의 홀수 값을 가지는 경우입니다.
- **집합 $A$ 정하기**: $\{1, 3, 5\}$ 중 하나를 고릅니다.
$$\binom{3}{1} = 3 \text{가지}$$
예를 들어 $A = \{1\}$이라고 해봅시다. 즉, $f(1) = f(3) = f(5) = 1$입니다.
- **집합 $B$ 정하기**: 치역의 원소 개수가 3개($|A \cup B| = 3$)여야 하므로, $B$는 $A$에 없는 원소 2개로만 이루어져야 합니다.
전체 집합 $X = \{1, 2, 3, 4, 5\}$에서 $A$의 원소(여기서는 $1$)를 제외한 나머지 4개의 원소 중에서 2개를 고릅니다.
$$\binom{4}{2} = 6 \text{가지}$$
예를 들어 $\{2, 4\}$를 고르면, 조건 (나)에 의해 자동으로 $f(2) = 2, f(4) = 4$가 됩니다.
따라서 이 경우의 수는 다음과 같습니다.
$$3 \times 6 = 18 \text{가지}$$
3단계: [경우 2] $|A| = 2$인 경우
$f(1), f(3), f(5)$가 서로 다른 2개의 홀수 값을 나누어 가지는 경우입니다.
- **집합 $A$ 정하기**: $\{1, 3, 5\}$ 중 서로 다른 2개를 고릅니다.
$$\binom{3}{2} = 3 \text{가지}$$
예를 들어 $A = \{1, 3\}$이라고 해봅시다.
- **$f(1), f(3), f(5)$에 값 대응시키기**: $\{1, 3\}$을 세 자리에 배치하되, 두 원소가 모두 적어도 한 번은 쓰여야 합니다.
전체 경우의 수 $2^3 = 8$가지에서, 모두 $1$로 가거나 모두 $3$으로 가는 2가지를 제외합니다.
$$2^3 - 2 = 6 \text{가지}$$
- **집합 $B$ 정하기**: 현재 $|A| = 2$입니다. 치역의 원소 개수가 3개가 되려면, $B$는 $A$의 원소 중 1개와, $A$에 없는 원소($X \setminus A$) 중 1개를 가져야 합니다.
* $A$에서 1개 선택: $\binom{2}{1} = 2$가지
* $X \setminus A$ (원소 개수 3개)에서 1개 선택: $\binom{3}{1} = 3$가지
* 따라서 $B$를 결정하는 방법은 $2 \times 3 = 6$가지입니다.
(선택된 2개의 원소는 자동으로 크기 순서대로 $f(2), f(4)$에 대응됩니다.)
따라서 이 경우의 수는 다음과 같습니다.
$$3 \times 6 \times 6 = 108 \text{가지}$$
4단계: [경우 3] $|A| = 3$인 경우
$f(1), f(3), f(5)$가 $\{1, 3, 5\}$를 하나씩 나누어 가지는 경우입니다.
- **집합 $A$ 정하기**: $A = \{1, 3, 5\}$로 고정되므로 1가지입니다.
- **$f(1), f(3), f(5)$에 값 대응시키기**: $\{1, 3, 5\}$를 일렬로 나열하여 대응시킵니다.
$$3! = 6 \text{가지}$$
- **집합 $B$ 정하기**: 이미 $|A| = 3$이므로, 치역의 개수가 3개가 되려면 $B$의 원소는 모두 $A$의 원소 안에서만 골라야 합니다 ($B \subseteq A$).
$A = \{1, 3, 5\}$의 3개 원소 중 $B$에 들어갈 2개를 고릅니다.
$$\binom{3}{2} = 3 \text{가지}$$
(마찬가지로 고른 두 수는 자동으로 $f(2) < f(4)$를 만족하도록 대응됩니다.)
따라서 이 경우의 수는 다음과 같습니다.
$$1 \times 6 \times 3 = 18 \text{가지}$$
5단계: 전체 경우의 수 합산하기
세 가지 경우는 동시에 일어날 수 없으므로(합의 법칙), 각각의 경우의 수를 모두 더합니다.
$$\text{전체 경우의 수} = 18 + 108 + 18 = 144$$
답
⑤ 144
확인해보기
오늘 배운 내용을 잘 이해했는지 스스로 점검해 봅시다.
질문: [경우 2]에서 $f(1), f(3), f(5)$의 함숫값의 집합이 $A = \{1, 3\}$으로 결정되었을 때, 이 값을 세 함수 $f(1), f(3), f(5)$에 대응시키는 방법의 수가 왜 $6$가지가 되는지 그 과정을 직접 나열하거나 식으로 설명해 보세요. (힌트: 중복순열과 여사건을 생각해보세요!)