어떤 문제인가
이 문제는 주어진 조건에 맞게 검은색 카드 2장과 흰색 카드 8장을 일렬로 나열하는 경우의 수를 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 순서가 정해진 나열 (조합): 흰색 카드는 이미 크기순으로 정해져 있으므로, 우리가 결정해야 할 것은 '검은색 카드가 들어갈 자리'뿐입니다.
- 여사건의 활용: '적어도 하나 포함한다'는 조건(다)을 해결하기 위해, 전체 경우의 수에서 '조건을 만족하지 않는 반대의 경우'를 빼서 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 흰색 카드의 자리를 고정하고 검은색 카드가 들어갈 '빈칸' 생각하기
조건 (가)에 의해 흰색 카드는 $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ 순서로 이미 고정되어 있습니다. 따라서 우리는 흰색 카드의 순서를 섞을 필요가 전혀 없습니다!
검은색 카드 2장을 배치하기 위해, 흰색 카드들 사이사이와 양 끝에 있는 '빈 공간(자리)'을 생각해 봅시다.
$$\text{\_ } 1 \text{ \_ } 2 \text{ \_ } 3 \text{ \_ } 4 \text{ \_ } 5 \text{ \_ } 6 \text{ \_ } 7 \text{ \_ } 8 \text{ \_}$$
위 그림처럼 검은색 카드가 들어갈 수 있는 자리는 총 $9$군데가 있습니다. 이 자리들에 왼쪽부터 순서대로 $0$번부터 $8$번까지 번호를 붙여볼게요.
- $0$번 자리: $1$의 왼쪽
- $1$번 자리: $1$과 $2$ 사이
- ...
- $8$번 자리: $8$의 오른쪽
첫 번째 검은색 카드가 들어갈 자리를 $a$, 두 번째 검은색 카드가 들어갈 자리를 $b$라고 합시다 ($a < b$).
2단계: 조건 (나)를 만족하는 전체 경우의 수 구하기
조건 (나)에서 **"검은색 카드 사이에는 흰색 카드가 $2$장 이상 놓여 있다"**라고 했습니다.
두 검은색 카드가 놓인 자리 $a$와 $b$ 사이에 있는 흰색 카드의 개수는 $b - a$개입니다. 따라서 조건 (나)는 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있습니다.
$$b - a \ge 2$$
$0$부터 $8$까지의 숫자 중 차이가 $2$ 이상 나는 두 수 $(a, b)$를 선택하는 경우의 수를 구해봅시다.
이것은 $0$부터 $8$까지의 자연수 중 이웃하지 않는 두 수를 선택하는 것과 같습니다.
이를 쉽게 구하기 위해 $b' = b - 1$이라고 치환해 봅시다.
$b - a \ge 2$이므로 $b - 1 \ge a + 1$, 즉 $a < b'$가 됩니다.
$b \le 8$이므로 $b' \le 7$입니다.
결국, $0$부터 $7$까지의 서로 다른 $8$개의 숫자 중에서 순서 없이 $2$개($a$와 $b'$)를 고르는 조합의 수와 같습니다.
$$\binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28\text{가지}$$
따라서 조건 (나)를 만족하는 총 경우의 수는 **$28$가지**입니다.
3단계: 조건 (다)의 여사건 구하기
조건 (다)는 **"검은색 카드 사이에는 $3$의 배수($3, 6$)가 적힌 흰색 카드가 $1$장 이상 놓여 있다"**입니다.
이 조건을 만족하지 않는 반대의 경우(여사건)는 **"검은색 카드 사이에 $3$의 배수($3$과 $6$)가 단 한 장도 없는 경우"**입니다.
즉, 두 검은색 카드 사이에 올 수 있는 흰색 카드가 오직 $\{1, 2\}$, $\{4, 5\}$, $\{7, 8\}$ 영역 안에서만 결정되어야 합니다.
그런데 조건 (나)에 의해 두 검은색 카드 사이에는 **최소 $2$장의 흰색 카드**가 있어야 하므로, 검은색 카드 사이에 올 수 있는 카드 묶음은 정확히 다음 세 가지 경우뿐입니다.
- 두 검은색 카드 사이에 **$1, 2$**만 있는 경우: $(a, b) = (0, 2)$
- 두 검은색 카드 사이에 **$4, 5$**만 있는 경우: $(a, b) = (3, 5)$
- 두 검은색 카드 사이에 **$7, 8$**만 있는 경우: $(a, b) = (6, 8)$
따라서 조건 (다)를 만족하지 못하는 예외적인 경우는 총 **$3$가지**밖에 없습니다.
4단계: 최종 경우의 수 계산하기
조건 (나)를 만족하는 전체 경우의 수에서 조건 (다)를 만족하지 않는 여사건의 경우의 수를 빼줍니다.
$$\text{최종 경우의 수} = 28 - 3 = 25$$
답
$$25$$
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 확인해볼 수 있는 문제입니다. 직접 풀어보며 실력을 다져보세요!
> [스스로 풀어보기 질문]
> 만약 흰색 카드가 $1$부터 $6$까지 $6$장 있고, 검은색 카드 $2$장 사이에 흰색 카드가 **$1$장 이상 놓여야 하며, 그 사이에는 $3$의 배수**가 적힌 카드가 $1$장 이상 놓여야 한다면 경우의 수는 몇 가지일까요? (검은색 카드는 서로 구별하지 않습니다.)