어떤 문제인가
이 문제는 주머니에서 공 2개를 동시에 꺼낼 때, 규칙에 따라 얻은 점수가 '24 이하의 짝수'가 될 확률을 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 전체 경우의 수 구하기: 조합(Combination, $_n\mathrm{C}_r$)을 이용해 공 8개 중 2개를 고르는 모든 경우의 수를 구합니다.
- 조건에 따른 사건 분류하기: 꺼낸 두 공의 색이 '서로 다를 때'와 '서로 같을 때'로 나누어 생각합니다.
- 조건을 만족하는 경우의 수 찾기: 각 상황에서 점수가 '24 이하의 짝수'가 되는 구체적인 경우를 빠짐없이 찾습니다.
단계별 풀이
1단계: 전체 경우의 수 구하기
먼저 주머니에 있는 총 8개의 공(흰 공 4개, 검은 공 4개) 중에서 임의로 2개의 공을 동시에 꺼내는 전체 경우의 수를 구해봅시다. 서로 다른 8개에서 2개를 순서 없이 선택하는 것이므로 조합을 사용합니다.
$$\text{전체 경우의 수} = {_8\mathrm{C}_2} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$$
전체 경우의 수는 **$28$가지**입니다.
2단계: [경우 1] 꺼낸 두 공이 서로 다른 색인 경우
두 공의 색이 다르면(흰 공 1개, 검은 공 1개) 규칙에 따라 **무조건 $12$점**을 얻습니다.
- 얻은 점수: $12$점
- 조건 확인: $12$는 '24 이하의 짝수'가 맞나요? 네, 맞습니다!
따라서 서로 다른 색의 공을 뽑는 모든 경우는 우리가 찾는 사건에 해당합니다. 흰 공 4개 중 1개를 뽑고, 검은 공 4개 중 1개를 뽑는 경우의 수를 계산해 봅시다.
$$\text{경우의 수} = {_4\mathrm{C}_1} \times {_4\mathrm{C}_1} = 4 \times 4 = 16$$
이 경우에서의 경우의 수는 **$16$가지**입니다.
3단계: [경우 2] 꺼낸 두 공이 서로 같은 색인 경우
두 공의 색이 같으면 규칙에 따라 '두 공에 적힌 수의 곱'을 점수로 얻습니다. 이 점수가 '24 이하의 짝수'가 되어야 합니다.
두 수의 곱이 짝수가 되려면, 적어도 하나의 공에는 짝수가 적혀 있어야 합니다. (홀수 $\times$ 홀수 = 홀수이므로 제외)
이 조건에 맞춰 흰 공끼리 뽑는 경우와 검은 공끼리 뽑는 경우를 나누어 살펴봅시다.
(1) 둘 다 흰 공인 경우 (적힌 수: $1, 2, 3, 4$)
4개의 흰 공 중에서 2개를 뽑는 모든 경우(${_4\mathrm{C}_2} = 6$가지)의 곱을 확인해 봅시다.
- $\{1, 2\} \rightarrow 1 \times 2 = 2$ (24 이하의 짝수 $\rightarrow$ 가능)
- $\{1, 3\} \rightarrow 1 \times 3 = 3$ (홀수 $\rightarrow$ 불가능)
- $\{1, 4\} \rightarrow 1 \times 4 = 4$ (24 이하의 짝수 $\rightarrow$ 가능)
- $\{2, 3\} \rightarrow 2 \times 3 = 6$ (24 이하의 짝수 $\rightarrow$ 가능)
- $\{2, 4\} \rightarrow 2 \times 4 = 8$ (24 이하의 짝수 $\rightarrow$ 가능)
- $\{3, 4\} \rightarrow 3 \times 4 = 12$ (24 이하의 짝수 $\rightarrow$ 가능)
조건을 만족하는 경우는 **$5$가지**입니다.
(2) 둘 다 검은 공인 경우 (적힌 수: $4, 5, 6, 7$)
4개의 검은 공 중에서 2개를 뽑는 모든 경우(${_4\mathrm{C}_2} = 6$가지)의 곱을 확인해 봅시다. 수가 크므로 곱이 24를 넘지 않는지 잘 봐야 합니다.
- $\{4, 5\} \rightarrow 4 \times 5 = 20$ (24 이하의 짝수 $\rightarrow$ 가능)
- $\{4, 6\} \rightarrow 4 \times 6 = 24$ (24 이하의 짝수 $\rightarrow$ 가능)
- $\{4, 7\} \rightarrow 4 \times 7 = 28$ (24 초과 $\rightarrow$ 불가능)
- $\{5, 6\} \rightarrow 5 \times 6 = 30$ (24 초과 $\rightarrow$ 불가능)
- $\{5, 7\} \rightarrow 5 \times 7 = 35$ (홀수 및 24 초과 $\rightarrow$ 불가능)
- $\{6, 7\} \rightarrow 6 \times 7 = 42$ (24 초과 $\rightarrow$ 불가능)
조건을 만족하는 경우는 **$2$가지**입니다.
따라서 같은 색의 공을 꺼내는 경우 중 조건을 만족하는 총 경우의 수는 $5 + 2 = 7$가지입니다.
4단계: 확률 계산하고 $p+q$ 구하기
이제 조건을 만족하는 모든 경우의 수를 더해봅시다.
$$\text{조건을 만족하는 경우의 수} = 16 \text{ (다른 색)} + 7 \text{ (같은 색)} = 23$$
따라서 구하고자 하는 확률 $\frac{q}{p}$는 다음과 같습니다.
$$\frac{q}{p} = \frac{\text{조건을 만족하는 경우의 수}}{\text{전체 경우의 수}} = \frac{23}{28}$$
$23$은 소수이므로, $23$과 $28$은 서로소인 자연수가 맞습니다.
따라서 $p = 28$, $q = 23$입니다.
최종적으로 구하는 값은 $p+q$이므로,
$$p+q = 28 + 23 = 51$$
답
$$51$$
확인해보기
아래 질문을 읽고 스스로 생각해보세요.
> 질문: 만약 문제의 조건이 "얻은 점수가 15 이하의 홀수일 확률"로 바뀐다면, 꺼낸 두 공이 서로 같은 색일 때 조건을 만족하는 경우는 어떤 것들이 있을까요? (직접 두 수의 곱을 구해서 홀수가 되는 경우를 찾아보세요!)