어떤 문제인가
이 문제는 $x$가 $0$으로 가까이 갈 때, 지수함수로 이루어진 분수식의 극한값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 머릿속에 꼭 넣어두어야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 지수함수의 극한 기본 공식: $\lim_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{t} = 1$
- 형태 맞추기: 극한 공식에서 지수에 있는 모양($t$)과 분모에 있는 모양($t$)이 서로 완벽히 같아야 공식이 성립합니다.
단계별 풀이
1단계: 식의 형태 분석하기
주어진 식에 $x = 0$을 대입해 보면 분모도 $e^0 - 1 = 0$이 되고, 분자도 $e^0 - 1 = 0$이 되는 $\frac{0}{0}$ 꼴(부정형)입니다.
이 상태로는 바로 극한값을 구할 수 없으므로, 우리가 알고 있는 기본 공식인 $\lim_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{t} = 1$을 사용할 수 있도록 식을 변형해야 합니다.
2단계: 분모와 분자를 $x$로 나누기
공식의 모양을 만들기 위해 분수식의 분모와 분자를 각각 $x$로 나누어 줍니다.
$$\frac{e^{7x} - 1}{e^{2x} - 1} = \frac{\frac{e^{7x} - 1}{x}}{\frac{e^{2x} - 1}{x}}$$
3단계: 공식에 맞게 '모양 맞추기'
이제 분자와 분모를 각각 공식에 맞게 변형해 봅시다. 공식이 성립하려면 지수의 모양과 분모의 모양이 같아야 합니다.
- 분자 변형하기: 지수가 $7x$이므로 분모에도 $7x$가 필요합니다. 원래 있던 $x$를 $7x$로 만들어주기 위해 $7$을 곱하고, 식의 값이 변하지 않도록 다시 $7$을 곱해줍니다.
$$\frac{e^{7x} - 1}{x} = \frac{e^{7x} - 1}{7x} \times 7$$
- 분모 변형하기: 지수가 $2x$이므로 분모에도 $2x$가 필요합니다. 마찬가지로 $2$를 곱하고 다시 $2$를 곱해줍니다.
$$\frac{e^{2x} - 1}{x} = \frac{e^{2x} - 1}{2x} \times 2$$
4단계: 극한값 계산하기
이제 전체 식에 극한($\lim_{x \to 0}$)을 취해줍니다.
$$\lim_{x \to 0} \frac{e^{7x} - 1}{e^{2x} - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{e^{7x} - 1}{7x} \times 7}{\frac{e^{2x} - 1}{2x} \times 2}$$
$x \to 0$일 때 $7x \to 0$이고 $2x \to 0$이므로, 기본 공식에 의해 다음이 성립합니다.
- $\lim_{x \to 0} \frac{e^{7x} - 1}{7x} = 1$
- $\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{2x} = 1$
따라서 식을 정리하면 다음과 같습니다.
$$\frac{1 \times 7}{1 \times 2} = \frac{7}{2}$$
답
**④ $\frac{7}{2}$**
확인해보기
오늘 배운 '모양 맞추기' 방법을 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요!
> 질문: 그렇다면 $\lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{e^{5x} - 1}$의 값은 무엇일까요? 위에서 배운 단계대로 천천히 공책에 풀어보세요.