어떤 문제인가
이 문제는 매개변수 $t$로 나타내어진 곡선에서 특정 점에서의 접선의 기울기, 즉 미분계수 $\frac{dy}{dx}$를 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 매개변수로 나타내어진 함수의 미분법: $x$와 $y$가 각각 $t$에 대한 함수일 때, $\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$ (단, $\frac{dx}{dt} \neq 0$) 임을 이용합니다.
- 합성함수의 미분법 (체인 룰): $\cos 2t$나 $\sin^2 t$와 같이 함수가 합성되어 있을 때 겉미분과 속미분을 차례로 적용합니다.
- 삼각함수의 값: 특수각($\frac{\pi}{2}$ 등)에서의 삼각함수 값을 정확히 계산합니다.
단계별 풀이
1단계: 매개변수 미분법 공식 세우기
우리가 구하고자 하는 것은 $\frac{dy}{dx}$입니다. 하지만 $y$가 $x$에 대한 식으로 직접 주어지지 않고, 둘 다 $t$라는 매개변수로 연결되어 있습니다. 이럴 때는 각각을 $t$로 미분한 뒤 나누어 줍니다.
$$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$$
따라서, 먼저 $\frac{dx}{dt}$와 $\frac{dy}{dt}$를 각각 구해야 합니다.
2단계: $x$를 $t$에 대해 미분하기 ($\frac{dx}{dt}$)
$x = t + \cos 2t$를 $t$에 대해 미분해 봅시다.
- $t$를 미분하면 $1$이 됩니다.
- $\cos 2t$를 미분할 때는 합성함수의 미분법을 씁니다. 겉미분($\cos \square \rightarrow -\sin \square$)을 하고, 속미분($2t \rightarrow 2$)을 곱해줍니다.
$$\frac{dx}{dt} = 1 + (-\sin 2t) \cdot 2 = 1 - 2\sin 2t$$
3단계: $y$를 $t$에 대해 미분하기 ($\frac{dy}{dt}$)
$y = \sin^2 t = (\sin t)^2$을 $t$에 대해 미분해 봅시다.
- 이 역시 합성함수의 미분법을 사용합니다. 겉미분($\square^2 \rightarrow 2\square$)을 하고, 속미분($\sin t \rightarrow \cos t$)을 곱해줍니다.
$$\frac{dy}{dt} = 2\sin t \cos t$$
*(참고: 삼각함수의 배각 공식에 의해 $2\sin t \cos t = \sin 2t$로 간단히 나타낼 수 있습니다.)*
4단계: $t = \frac{\pi}{4}$ 대입하여 계산하기
이제 구한 미분식들에 $t = \frac{\pi}{4}$를 대입하여 값을 구합니다.
먼저, 공통으로 들어있는 $2t$의 값을 구하면:
$$2t = 2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$$
이때 $\sin \frac{\pi}{2} = 1$이므로, 각각의 대입값은 다음과 같습니다.
- $\frac{dx}{dt}$에 대입:
$$\frac{dx}{dt} = 1 - 2\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 - 2(1) = -1$$
- $\frac{dy}{dt}$에 대입:
$$\frac{dy}{dt} = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$$
5단계: 최종 $\frac{dy}{dx}$ 구하기
두 값을 공식에 대입합니다.
$$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{1}{-1} = -1$$
답
**② $-1$**
확인해보기
매개변수 $t$로 나타내어진 곡선
$$x = t^2, \quad y = t^3 - 3t$$
에서 $t = 2$일 때, $\frac{dy}{dx}$의 값은 무엇일까요? 위에서 배운 단계대로 스스로 풀어보세요!