어떤 문제인가
이 문제는 주어진 함수 $f(x)$가 포함된 복잡한 형태의 정적분 값을 구하는 문제입니다. 식을 그대로 풀려고 하면 매우 복잡해 보이지만, 식의 구성 요소들 사이의 관계를 파악하면 쉽게 해결할 수 있습니다.
이 문제를 풀기 위해 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 도함수 구하기: 주어진 함수 $f(x)$를 미분하여 그 형태를 관찰합니다.
- 치환적분법 (Integration by Substitution): 피적분함수 안에 어떤 식과 그 식의 미분형태가 곱해져 있을 때, 변수를 치환하여 적분을 단순하게 만드는 방법입니다.
단계별 풀이
1단계: 식의 특징 관찰하고 미분해보기
적분 기호 안을 가만히 살펴보면, $f(x)$와 $\left(1 + \frac{1}{x}\right)$가 곱해져 있습니다.
여기서 $f(x) = x + \ln x$를 미분하면 어떻게 되는지 먼저 확인해 봅시다.
$$f'(x) = \frac{d}{dx}(x + \ln x) = 1 + \frac{1}{x}$$
어때요? $f(x)$를 미분한 결과인 $f'(x)$가 적분식 안에 그대로 들어있지요?
이처럼 어떤 함수와 그 함수의 미분된 형태가 곱해져 있는 구조일 때는 치환적분법을 사용하면 아주 쉽게 풀립니다.
2단계: 치환하기와 미분형식($dx \to dt$) 바꾸기
이제 $f(x)$를 새로운 변수 $t$로 치환해 봅시다.
$$t = f(x) = x + \ln x$$
양변을 각각 미분하면 다음과 같은 관계식을 얻을 수 있습니다.
$$dt = \left(1 + \frac{1}{x}\right) dx$$
이 식 덕분에 원래 적분식에 있던 $\left(1 + \frac{1}{x}\right) dx$ 부분을 통째로 $dt$로 바꿀 수 있게 되었습니다!
3단계: 적분 구간 변경하기
변수를 $x$에서 $t$로 바꾸었으므로, 적분 구간(위끝과 아래끝)도 $t$에 맞게 바꾸어 주어야 합니다. $t = x + \ln x$ 관계식을 이용합니다.
- **아래끝 ($x = 1$ 일 때):**
$$t = 1 + \ln 1 = 1 + 0 = 1$$
- **위끝 ($x = e$ 일 때):**
$$t = e + \ln e = e + 1$$
따라서 새로운 적분 구간은 $1$부터 $e+1$까지가 됩니다.
4단계: 새로운 식 세우고 계산하기
이제 준비된 재료들을 가지고 원래의 적분식을 $t$에 대한 식으로 완전히 바꾸어 봅시다.
$$\int_{1}^{e} \left(1 + \frac{1}{x}\right) f(x) dx = \int_{1}^{e+1} t \, dt$$
복잡했던 식이 아주 간단한 일차식의 적분으로 바뀌었습니다! 이제 정적분을 계산해 봅시다.
$$\int_{1}^{e+1} t \, dt = \left[ \frac{1}{2}t^2 \right]_{1}^{e+1}$$
$$= \frac{1}{2}(e+1)^2 - \frac{1}{2}(1)^2$$
$$= \frac{1}{2}(e^2 + 2e + 1) - \frac{1}{2}$$
$$= \frac{e^2}{2} + e + \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$$
$$= \frac{e^2}{2} + e$$
답
정답은 **② $\frac{e^2}{2} + e$** 입니다.
확인해보기
오늘 배운 치환적분법을 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요.
질문:
정적분 $\int_{0}^{1} 2x(x^2 + 1)^3 dx$를 치환적분법으로 풀려고 합니다. 이때 어떤 부분을 $t$로 치환하는 것이 가장 좋을까요? 그리고 치환한 후의 새로운 적분 구간은 어떻게 될까요? (직접 계산해 보며 생각해 보세요!)