반갑습니다! 오늘 함께 풀어볼 문제는 등차수열과 등비수열의 성질, 그리고 무한급수의 수렴을 활용하는 아주 좋은 문제입니다. 겉보기에는 복잡해 보이지만, 개념을 하나씩 쪼개서 적용하면 쉽게 해결할 수 있어요. 선생님과 함께 차근차근 풀어봅시다!
어떤 문제인가
이 문제는 두 가지 서로 다른 수열의 무한합(급수)을 구하는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리가 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 등차수열과 등비수열의 일반항: 첫째항과 공차(또는 공비)를 이용해 수열의 식을 세웁니다.
- 부분분수 분해를 이용한 급수: 분모가 두 식의 곱으로 되어 있을 때, 이를 분리하여 중간 항들을 소거하는 방법입니다.
- 무한등비급수의 합: 공비 $r$의 범위가 $-1 < r < 1$일 때, 첫째항이 $a$인 등비급수의 합은 $\frac{a}{1-r}$로 수렴한다는 성질을 이용합니다.
단계별 풀이
1단계: 수열 $\{a_n\}$과 $\{b_n\}$을 문자로 표현하기
먼저 문제에서 주어진 조건들을 기호로 정리해 봅시다.
- 등차수열 $\{a_n\}$의 첫째항은 $a_1 = 1$이고, 공차를 $d$ ($d > 0$)라고 합시다.
$$a_n = 1 + (n-1)d$$
따라서 두 번째 항은 $a_2 = 1 + d$ 입니다.
- 등비수열 $\{b_n\}$의 첫째항은 $b_1 = 1$이고, 공비를 $r$이라고 합시다.
$$b_n = r^{n-1}$$
따라서 두 번째 항은 $b_2 = r$ 입니다.
문제에서 $a_2 b_2 = 1$이라고 했으므로, 위 식들을 대입하면 다음과 같은 관계식을 얻을 수 있습니다.
$$(1+d)r = 1 \quad \implies \quad r = \frac{1}{1+d}$$
여기서 공차 $d > 0$이므로 분모 $1+d > 1$이 되어, 공비 $r$은 $0 < r < 1$ 범위를 가집니다. 즉, 등비급수 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$은 수렴 조건을 만족합니다.
2단계: 첫 번째 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n a_{n+1}}$ 계산하기
이 급수는 분모가 곱의 형태이므로 부분분수 공식 $\frac{1}{AB} = \frac{1}{B-A}\left(\frac{1}{A} - \frac{1}{B}\right)$를 사용합니다.
$a_{n+1} - a_n = d$ (공차)이므로, 일반항을 다음과 같이 변형할 수 있습니다.
$$\frac{1}{a_n a_{n+1}} = \frac{1}{a_{n+1} - a_n} \left( \frac{1}{a_n} - \frac{1}{a_{n+1}} \right) = \frac{1}{d} \left( \frac{1}{a_n} - \frac{1}{a_{n+1}} \right)$$
이제 이 식의 무한합을 구하기 위해 부분합의 극한을 취해봅시다.
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n a_{n+1}} = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{d} \left( \frac{1}{a_n} - \frac{1}{a_{n+1}} \right)$$
괄호 안의 항들을 나열해 보면 중간 항들이 모두 지워집니다.
$$= \frac{1}{d} \lim_{N \to \infty} \left[ \left( \frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_2} \right) + \left( \frac{1}{a_2} - \frac{1}{a_3} \right) + \dots + \left( \frac{1}{a_N} - \frac{1}{a_{N+1}} \right) \right]$$
$$= \frac{1}{d} \lim_{N \to \infty} \left( \frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_{N+1}} \right)$$
이때 $a_1 = 1$이고, $d > 0$이므로 $N \to \infty$일 때 $a_{N+1} \to \infty$가 되어 $\frac{1}{a_{N+1}} \to 0$이 됩니다.
따라서 첫 번째 급수의 값은 다음과 같습니다.
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n a_{n+1}} = \frac{1}{d} (1 - 0) = \frac{1}{d}$$
3단계: 두 번째 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 계산하기
이 급수는 첫째항이 $1$이고 공비가 $r = \frac{1}{1+d}$인 무한등비급수입니다. 공식 $\frac{a}{1-r}$에 대입해 봅시다.
$$\sum_{n=1}^{\infty} b_n = \frac{1}{1 - r} = \frac{1}{1 - \frac{1}{1+d}}$$
분모를 통분하여 정리하면 다음과 같습니다.
$$\sum_{n=1}^{\infty} b_n = \frac{1}{\frac{(1+d) - 1}{1+d}} = \frac{1+d}{d} = \frac{1}{d} + 1$$
4단계: 공차 $d$ 구하고 최종 답 도출하기
이제 문제에서 주어진 전체 급수의 합이 $2$라는 조건을 이용합니다. 두 급수가 각각 수렴하므로 합을 쪼개서 쓸 수 있습니다.
$$\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{a_n a_{n+1}} + b_n \right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n a_{n+1}} + \sum_{n=1}^{\infty} b_n = 2$$
위에서 구한 식들을 대입해 봅시다.
$$\frac{1}{d} + \left( \frac{1}{d} + 1 \right) = 2$$
$$\frac{2}{d} + 1 = 2$$
$$\frac{2}{d} = 1 \quad \implies \quad d = 2$$
공차 $d = 2$를 구했습니다! 우리가 최종적으로 구하고자 하는 값은 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 이므로, 3단계에서 구한 식에 $d=2$를 대입합니다.
$$\sum_{n=1}^{\infty} b_n = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$$
답
정답은 **⑤ $\frac{3}{2}$** 입니다.
확인해보기
공부한 내용을 잘 이해했는지 스스로 점검해 봅시다.
질문: 이 문제에서 두 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n a_{n+1}}$과 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$을 각각 따로 계산해서 더할 수 있었던 성질(이유)은 무엇일까요? 급수의 성질과 관련지어 생각해보세요.