어떤 문제인가
이 문제는 주어진 범위 $x = -\ln 4$부터 $x = 1$까지 곡선의 길이를 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리가 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 곡선의 길이 공식: 곡선 $y = f(x)$의 $x = a$부터 $x = b$까지의 길이는 $\int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} dx$로 구합니다.
- 절댓값 기호가 있는 함수의 범위 나누기: 절댓값 안의 식의 부호가 바뀌는 기준점($x=0$)을 기준으로 함수를 나누어 생각해야 합니다.
- 완전제곱식을 이용한 루트 탈출: $\sqrt{1 + (y')^2}$를 계산할 때, 루트 안의 식을 완전제곱식으로 만들어 루트를 벗겨내는 테크닉이 필요합니다.
단계별 풀이
1단계: 절댓값 기호를 벗기기 위해 범위 나누기
함수 $y = \frac{1}{2} (|e^x - 1| - e^{|x|} + 1)$에는 절댓값 기호가 두 군데 있습니다.
$e^x - 1$의 부호와 $x$의 부호는 모두 $x = 0$을 기준으로 바뀝니다. 따라서 구간을 $[-\ln 4, 0]$과 $[0, 1]$ 두 개로 나누어 함수를 단순하게 정리해 봅시다.
- **구간 1: $-\ln 4 \le x < 0$ 일 때**
* $x < 0$이므로 $e^x < 1$이 되어 $|e^x - 1| = -(e^x - 1) = 1 - e^x$입니다.
* $x < 0$이므로 $|x| = -x$가 되어 $e^{|x|} = e^{-x}$입니다.
* 식에 대입하면:
$$y = \frac{1}{2} \left( (1 - e^x) - e^{-x} + 1 \right) = \frac{1}{2} (2 - e^x - e^{-x}) = 1 - \frac{e^x + e^{-x}}{2}$$
- **구간 2: $0 \le x \le 1$ 일 때**
* $x \ge 0$이므로 $e^x \ge 1$이 되어 $|e^x - 1| = e^x - 1$입니다.
* $x \ge 0$이므로 $|x| = x$가 되어 $e^{|x|} = e^x$입니다.
* 식에 대입하면:
$$y = \frac{1}{2} \left( (e^x - 1) - e^x + 1 \right) = 0$$
2단계: 각 구간에서의 도함수 $y'$ 구하기
곡선의 길이를 구하기 위해 각 구간에서 미분을 해봅시다.
- **구간 1 ($-\ln 4 \le x < 0$)에서의 미분**:
$$y = 1 - \frac{e^x + e^{-x}}{2}$$
$$y' = -\frac{e^x - e^{-x}}{2}$$
- **구간 2 ($0 \le x \le 1$)에서의 미분**:
$$y = 0$$
$$y' = 0$$
3단계: 곡선의 길이 공식 적용하여 계산하기
이제 전체 곡선의 길이 $L$을 두 구간으로 나누어 적분합니다.
$$L = \int_{-\ln 4}^{0} \sqrt{1 + (y')^2} dx + \int_{0}^{1} \sqrt{1 + (y')^2} dx$$
각각을 $L_1$, $L_2$라고 하고 계산해 봅시다.
① $L_1$ 계산 ($-\ln 4$부터 $0$까지)
루트 안의 식 $1 + (y')^2$을 먼저 정리합니다.
$$1 + (y')^2 = 1 + \left( -\frac{e^x - e^{-x}}{2} \right)^2 = 1 + \frac{e^{2x} - 2 + e^{-2x}}{4}$$
이 식을 통분하면 아주 재미있는 모양이 나옵니다.
$$1 + (y')^2 = \frac{4 + e^{2x} - 2 + e^{-2x}}{4} = \frac{e^{2x} + 2 + e^{-2x}}{4} = \left( \frac{e^x + e^{-x}}{2} \right)^2$$
따라서 루트를 씌우면 제곱이 사라집니다. ($e^x + e^{-x} > 0$이므로 그대로 나옵니다.)
$$\sqrt{1 + (y')^2} = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$$
이제 적분을 수행합니다.
$$L_1 = \int_{-\ln 4}^{0} \frac{e^x + e^{-x}}{2} dx = \left[ \frac{e^x - e^{-x}}{2} \right]_{-\ln 4}^{0}$$
위끝 $0$을 대입한 값에서 아래끝 $-\ln 4$를 대입한 값을 뺍니다.
- $x = 0$ 대입: $\frac{e^0 - e^0}{2} = 0$
- $x = -\ln 4$ 대입:
$e^{-\ln 4} = \frac{1}{4}$ 이고, $e^{-(-\ln 4)} = e^{\ln 4} = 4$ 이므로,
$$\frac{\frac{1}{4} - 4}{2} = \frac{-\frac{15}{4}}{2} = -\frac{15}{8}$$
따라서,
$$L_1 = 0 - \left( -\frac{15}{8} \right) = \frac{15}{8}$$
② $L_2$ 계산 ($0$부터 $1$까지)
이 구간에서는 $y' = 0$이므로 식이 매우 간단합니다.
$$L_2 = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + 0^2} dx = \int_{0}^{1} 1 dx = [x]_{0}^{1} = 1$$
4단계: 총 길이 구하기
두 구간의 길이를 더합니다.
$$L = L_1 + L_2 = \frac{15}{8} + 1 = \frac{23}{8}$$
답
정답은 **① $\frac{23}{8}$** 입니다.
확인해보기
이 문제에서 $x \ge 0$일 때 곡선의 방정식은 $y = 0$이 되었습니다. 그렇다면 이 구간($[0, 1]$)에서 곡선의 길이를 정적분 공식을 쓰지 않고, 그래프의 모양을 생각하여 기하학적으로 바로 구한다면 그 길이는 얼마이고 왜 그렇게 되나요? 스스로 생각해 보세요!