어떤 문제인가
이 문제는 정적분으로 정의된 함수에 절댓값을 씌운 새로운 함수 $g(x)$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 매개변수 $a$의 최솟값을 찾는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 것입니다:
- 절댓값 함수의 미분가능성: 함수 $|H(x)|$가 미분가능하려면, $H(x) = 0$이 되는 모든 점 $x_0$에서 $H'(x_0) = 0$이어야 합니다. (즉, $x$축을 뚫고 지나가는 점이 없거나, 지나가더라도 접하면서 지나가야 합니다.)
- 정적분으로 정의된 함수의 미분: $H(x) = \int_{c}^{x} f(t) dt$일 때, $H'(x) = f(x)$입니다.
- 삼각함수의 주기와 정적분: 삼각함수의 주기성을 이용하여 정적분 값을 쉽고 빠르게 계산하는 방법을 활용합니다.
단계별 풀이
1단계: $g(x)$가 미분가능할 조건 분석하기
먼저 절댓값 기호 안의 함수를 $H(x)$라고 놓읍시다.
$$H(x) = \int_{-a\pi}^{x} f(t) dt$$
그러면 우리가 분석해야 할 함수는 $g(x) = |H(x)|$입니다.
$H(x)$는 연속함수 $f(x)$를 적분한 것이므로 실수 전체에서 미분가능하며, $H'(x) = f(x)$입니다.
이때 $g(x) = |H(x)|$가 실수 전체에서 미분가능하려면 다음 조건을 만족해야 합니다:
> **"만약 어떤 실수 $x_0$에 대해 $H(x_0) = 0$이라면, 반드시 $H'(x_0) = f(x_0) = 0$이어야 한다."**
이 성질을 머리에 담아두고, $x < 0$ 영역과 $x \ge 0$ 영역으로 나누어 살펴봅시다.
2단계: $x < 0$ 영역에서 $a$의 조건 구하기
$x < 0$일 때, $f(x) = 2|\sin 4x| \ge 0$입니다.
피적분함수가 항상 $0$ 이상이므로, $H(x)$는 $x$가 증가할 때 같이 증가하는 단조증가 함수입니다.
정의에 의해 $H(-a\pi) = \int_{-a\pi}^{-a\pi} f(t)dt = 0$입니다.
$H(x)$가 증가함수이므로, $x = -a\pi$는 $x < 0$ 영역에서 $H(x) = 0$이 되는 유일한 점입니다.
따라서 $g(x)$가 $x = -a\pi$에서 미분가능하려면 앞서 말한 조건에 의해 다음이 성립해야 합니다:
$$H'(-a\pi) = f(-a\pi) = 0$$
$f(x)$의 식에 대입해 볼까요?
$$2|\sin(-4a\pi)| = 0 \implies \sin(4a\pi) = 0$$
사인 함수가 $0$이 되려면 각도가 $\pi$의 정수 배여야 합니다. 즉, $4a$가 정수여야 합니다.
$$4a = k \quad (k\text{는 정수})$$
$$a = \frac{k}{4}$$
문제에서 $0 < a < 2$라고 했으므로, $a$가 될 수 있는 후보는 다음과 같습니다:
$$a \in \left\{ \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{4}{4}, \dots, \frac{7}{4} \right\}$$
3단계: 경계점인 $x=0$에서의 $H(0)$ 값 구하기
이제 $x \ge 0$ 영역으로 넘어가기 전에, 경계가 되는 $H(0)$의 값을 구해봅시다.
$$H(0) = \int_{-a\pi}^{0} 2|\sin 4t| dt$$
이것은 $y = 2|\sin 4t|$ 그래프를 $-a\pi$부터 $0$까지 적분한 것입니다.
- $y = \sin 4t$의 주기는 $\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$이므로, 절댓값을 씌운 $y = |\sin 4t|$의 주기는 그 절반인 $\frac{\pi}{4}$입니다.
- 한 주기(폭이 $\frac{\pi}{4}$) 동안 $y = 2\sin 4t$의 넓이를 구해보면:
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 2\sin 4t dt = \left[ -\frac{1}{2}\cos 4t \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = -\frac{1}{2}(-1 - 1) = 1$$
즉, 볼록한 한 칸의 넓이는 항상 $1$입니다.
우리가 적분하는 구간의 길이는 $0 - (-a\pi) = a\pi$입니다.
앞서 $a = \frac{k}{4}$라고 했으므로, 구간의 길이는 $\frac{k}{4}\pi$가 됩니다.
한 칸의 폭이 $\frac{\pi}{4}$이므로, 이 구간 안에는 정확히 $k$개의 칸이 들어있습니다.
따라서 $H(0)$의 값은 다음과 같이 아주 간단하게 정리됩니다:
$$H(0) = k \times 1 = k = 4a$$
4단계: $x \ge 0$ 영역에서 $H(x)$ 분석하기
$x \ge 0$일 때 $f(x) = -\sin ax$이므로, $H(x)$를 직접 계산해 봅시다.
$$H(x) = H(0) + \int_{0}^{x} f(t) dt$$
$$H(x) = 4a + \int_{0}^{x} (-\sin at) dt$$
$$H(x) = 4a + \left[ \frac{1}{a}\cos at \right]_{0}^{x} = 4a + \frac{\cos ax - 1}{a}$$
이 함수 $H(x)$가 $x \ge 0$에서 $0$이 되는 순간이 있는지 확인해야 합니다.
코사인 함수의 성질에 의해 $-1 \le \cos ax \le 1$이므로, $H(x)$의 최솟값은 $\cos ax = -1$일 때 가집니다.
$$H(x)\text{의 최솟값} = 4a - \frac{2}{a}$$
여기서 두 가지 케이스를 생각할 수 있습니다.
**케이스 A: 최솟값이 $0$보다 큰 경우 ($4a - \frac{2}{a} > 0$)**
이 경우 $H(x)$는 항상 양수이므로 $H(x) = 0$이 되는 점이 아예 존재하지 않습니다. 따라서 미분 불가능해질 걱정이 전혀 없습니다!
**케이스 B: 최솟값이 $0$ 이하인 경우 ($4a - \frac{2}{a} \le 0$)**
만약 최솟값이 $0$보다 작다면, $H(x)$ 그래프가 $x$축을 뚫고 내려갔다 올라오게 됩니다. 이때 $H(x) = 0$이 되는 교점 $x_0$가 생기는데, 이 점들에서 미분가능하려면 $H'(x_0) = f(x_0) = -\sin ax_0 = 0$이어야 합니다.
즉, $\cos ax_0 = -1$인 지점에서만 딱 접하면서 $0$이 되어야 하므로, 최솟값 자체가 정확히 $0$이어야만 합니다. ($4a - \frac{2}{a} = 0$)
하지만 $4a - \frac{2}{a} = 0$을 풀면 $4a^2 = 2 \implies a = \frac{1}{\sqrt{2}}$가 되는데, 이 값은 우리가 2단계에서 구한 유리수 형태의 조건 $a = \frac{k}{4}$를 만족하지 못합니다 (무리수이므로).
따라서 $H(x)$가 $0$이 되면서 미분가능할 수는 없으므로, 우리는 케이스 A를 만족해야만 합니다. 즉, $H(x)$가 항상 $0$보다 커야 합니다.
5단계: $a$의 최솟값 구하기
케이스 A의 조건을 풀어봅시다.
$$4a - \frac{2}{a} > 0$$
$a > 0$이므로 양변에 $a$를 곱하면:
$$4a^2 > 2 \implies a^2 > \frac{1}{2}$$
$$a > \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$$
우리가 2단계에서 구한 $a = \frac{k}{4}$ 후보들 중에서 $0.707$보다 큰 가장 작은 값을 찾으면 됩니다.
- $k=1 \implies a = 0.25$ (탈락)
- $k=2 \implies a = 0.5$ (탈락)
- $k=3 \implies a = 0.75 = \frac{3}{4}$ (통과!)
따라서 만족하는 $a$의 최솟값은 $\frac{3}{4}$입니다.
답
**② $\frac{3}{4}$**
확인해보기
함수 $h(x) = |x(x-k)|$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 만드는 실수 $k$의 값은 무엇일까요? 오늘 배운 '절댓값 함수의 미분가능 조건'을 생각하며 답해 보세요.