어떤 문제인가
$a>1$, $b>1$일 때 지수 수열의 극한에 관한 두 등식을 만족하는 $a$, $b$를 찾아 $a+b$를 구하는 문제예요. 핵심 개념은 $\lim_{n\to\infty}\dfrac{p^n+q^{n+1}}{p^{n+1}+q^n}$ 꼴의 극한이 밑 $p$, $q$의 대소 관계에 따라 값이 달라진다는 것이에요. 분모·분자를 더 큰 밑의 $n$제곱으로 나누어 각 경우의 극한값을 구한 뒤, 주어진 등식과 조건 $a>1$, $b>1$에 맞는 경우만 남기면 됩니다. 첫째 식은 $a$와 $3$의 대소로, 둘째 식은 $b$와 $a$의 대소로 경우를 나눠요.
단계별 풀이
- **첫째 극한 $\lim_{n\to\infty}\dfrac{3^n+a^{n+1}}{3^{n+1}+a^n}=a$를 분석해요 ($a$와 $3$의 대소 비교).** 밑의 대소에 따라 극한값이 달라지므로 세 경우로 나누어 살펴봅니다.
- **$1<a<3$인 경우**: 분모·분자를 $3^n$으로 나누면 $\left(\dfrac{a}{3}\right)^n\to 0$이므로
$$\lim_{n\to\infty}\frac{1+a\left(\frac{a}{3}\right)^n}{3+\left(\frac{a}{3}\right)^n}=\frac{1}{3}$$
이 돼요. 그러면 $a=\dfrac{1}{3}$이 되어야 하는데, 이는 $a>1$에 모순이므로 불가능해요.
- **$a=3$인 경우**: 분자 $=3^n+3^{n+1}=4\cdot 3^n$, 분모 $=3^{n+1}+3^n=4\cdot 3^n$이므로 극한값은 $1$이에요. $a=3\neq 1$이므로 역시 불가능해요.
- **$a>3$인 경우**: 분모·분자를 $a^n$으로 나누면 $\left(\dfrac{3}{a}\right)^n\to 0$이므로
$$\lim_{n\to\infty}\frac{\left(\frac{3}{a}\right)^n+a}{3\left(\frac{3}{a}\right)^n+1}=a$$
가 되어 등식이 항상 성립해요. 따라서 첫째 조건은 **$a>3$** 과 같은 뜻이에요.
- **둘째 극한 $\lim_{n\to\infty}\dfrac{a^n+b^{n+1}}{a^{n+1}+b^n}=\dfrac{9}{a}$를 분석해요 ($b$와 $a$의 대소 비교, 단 $a>3$).** 같은 방법으로 세 경우를 살펴봅니다.
- **$1<b<a$인 경우**: 분모·분자를 $a^n$으로 나누면 극한값은 $\dfrac{1}{a}$예요. $\dfrac{1}{a}=\dfrac{9}{a}$는 $1=9$가 되어 불가능해요.
- **$b>a$인 경우**: 분모·분자를 $b^n$으로 나누면 극한값은 $b$예요. 따라서 $b=\dfrac{9}{a}$가 되어야 하는데, $a>3$이면 $b=\dfrac{9}{a}<3<a$가 되어 $b>a$와 모순이므로 불가능해요.
- **$b=a$인 경우**: 분자 $=a^n+a^{n+1}=a^n(1+a)$, 분모 $=a^{n+1}+a^n=a^n(1+a)$이므로 극한값은 $1$이에요. 따라서
$$\frac{9}{a}=1\quad\Longrightarrow\quad a=9$$
가 됩니다. $a=9>3$이므로 1단계의 조건도 만족하고, $b=a=9>1$도 만족해요.
- 답을 계산해요.
$$a+b=9+9=18.$$
검산
$a=b=9$를 직접 대입해서 $n=50,\,100,\,200$처럼 큰 $n$으로 계산해 보면, 첫째 극한 $\dfrac{3^n+9^{n+1}}{3^{n+1}+9^n}$은 $9.000\ldots=a$에, 둘째 극한 $\dfrac{9^n+9^{n+1}}{9^{n+1}+9^n}$은 $1=\dfrac{9}{9}=\dfrac{9}{a}$에 가까워져 두 조건이 모두 성립함을 확인할 수 있어요. 배제한 경우들도 같은 방법으로 확인해 보면 — $a=3$일 때 첫째 극한 $=1\neq 3$, $a=2$일 때 $=0.333\ldots\neq 2$, $a=5,\,b=2$일 때 둘째 극한 $=0.2=\dfrac{1}{5}\neq\dfrac{9}{5}$, $a=5,\,b=7$일 때 $=7\neq\dfrac{9}{5}$ — 모두 모순임이 확인돼요.
답
$$a+b=\boxed{18}$$
확인해보기
$b<a$, $b>a$ 두 경우만 검토하고 $b=a$인 경우를 빠뜨리면 이 문제에서 어떤 일이 생길까요? 밑이 같을 때 극한값이 왜 $1$이 되는지 스스로 계산해 보세요.