반갑습니다! 수학과 물리를 가르치는 선생님입니다.
오늘 함께 풀어볼 문제는 도형과 삼각함수, 그리고 미분이 멋지게 어우러진 기하·벡터 및 미적분 융합 문제입니다. 도형을 좌표평면에 올려놓고 해석하는 방법과 음함수의 미분법을 이용하면 복잡해 보이는 식도 아주 깔끔하게 해결할 수 있어요. 천천히 한 단계씩 알아가 봅시다!
어떤 문제인가
이 문제는 원 안에서 움직이는 점 $P$에 의해 만들어지는 삼각형의 넓이를 삼각함수로 표현하고, 그 변화율(미분계수)을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 머릿속에 떠올려야 할 핵심 개념 3가지는 다음과 같습니다.
- 도형의 좌표화: 복잡한 기하 문제를 해결할 때, 원의 중심을 원점으로 잡고 좌표평면에 나타내면 계산이 훨씬 직관적이고 쉬워집니다.
- 삼각함수를 이용한 선분의 길이 표현: 직각삼각형과 삼각비를 이용해 삼각형의 밑변과 높이를 변수 $y$와 $\theta$로 나타냅니다.
- 음함수의 미분법: 변수 $y$와 $\theta$가 서로 얽혀 있을 때, 합성함수의 미분 원리를 이용해 $y$를 $\theta$에 대해 미분($\frac{dy}{d\theta}$)하는 방법입니다.
단계별 풀이
1단계: 좌표평면 위에 원과 점 배치하기
도형을 좌표평면에 올려놓으면 점들의 위치를 수식으로 나타내기 아주 좋습니다.
원의 지름의 길이가 $10$이므로 반지름은 $5$입니다. 원의 중심을 원점 $O(0,0)$으로 잡으면, 원의 방정식은 다음과 같습니다.
$$x^2 + y^2 = 25$$
지름 $\text{AB}$는 $x$축 위에 놓이게 되므로, 점 $\text{A}$는 $(-5, 0)$, 점 $\text{B}$는 $(5, 0)$이 됩니다.
선분 $\text{AC}$의 길이가 $4$이므로, 점 $\text{C}$의 좌표는 $\text{A}(-5,0)$에서 오른쪽으로 $4$만큼 떨어진 **$\text{C}(-1, 0)$**이 됩니다.
2단계: 삼각형 $\text{PCQ}$의 넓이 $S(\theta)$ 식 세우기
점 $\text{P}$의 좌표를 $(x, y)$라고 합시다. (단, $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$이므로 $y > 0$입니다.)
점 $\text{Q}$는 점 $\text{P}$를 지나고 $x$축에 수직인 직선이 원과 만나는 다른 점이므로, $x$축에 대해 대칭인 점인 $(x, -y)$가 됩니다.
이제 삼각형 $\text{PCQ}$의 넓이를 구해봅시다.
- **밑변 ($\text{PQ}$)**: 두 점 $\text{P}(x,y)$와 $\text{Q}(x,-y)$ 사이의 거리이므로 길이는 $2y$입니다.
- 높이: 점 $\text{C}(-1,0)$에서 선분 $\text{PQ}$까지의 수평 거리입니다. 점 $\text{P}$의 $x$좌표가 $-1$보다 크므로 높이는 $x - (-1) = x + 1$이 됩니다.
여기서 직선 $\text{CP}$가 $x$축의 양의 방향과 이루는 각이 $\theta$이므로, 직각삼각형의 성질에 의해 다음이 성립합니다.
$$\tan\theta = \frac{y}{x+1} \implies x+1 = y\cot\theta$$
따라서 삼각형 $\text{PCQ}$의 넓이 $S(\theta)$는 다음과 같이 정리됩니다.
$$S(\theta) = \frac{1}{2} \times (\text{밑변}) \times (\text{높이}) = \frac{1}{2} \times 2y \times (x+1) = y(y\cot\theta) = y^2\cot\theta$$
3단계: $\theta = \frac{\pi}{4}$일 때의 $y$ 값 구하기
우리가 구해야 하는 것은 $\theta = \frac{\pi}{4}$일 때의 미분계수이므로, 먼저 이 순간의 $y$ 값을 구해둡시다.
$\theta = \frac{\pi}{4}$일 때, $\cot\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$이므로 $x+1 = y \implies x = y-1$이 됩니다.
점 $\text{P}(x,y)$는 원 $x^2 + y^2 = 25$ 위의 점이므로 대입해 줍니다.
$$(y-1)^2 + y^2 = 25$$
$$2y^2 - 2y - 24 = 0 \implies y^2 - y - 12 = 0$$
$$(y-4)(y+3) = 0$$
$y > 0$이어야 하므로, **$\theta = \frac{\pi}{4}$일 때 $y = 4$**입니다. (이때 $x = 3$이 되어 반지름이 5인 원 위의 점 $(3,4)$가 예쁘게 나옵니다!)
4단계: 음함수의 미분법으로 $\frac{dy}{d\theta}$ 구하기
$y$와 $\theta$ 사이의 관계식을 찾아봅시다.
$x = y\cot\theta - 1$을 원의 방정식 $x^2 + y^2 = 25$에 대입합니다.
$$(y\cot\theta - 1)^2 + y^2 = 25$$
$$y^2\cot^2\theta - 2y\cot\theta + 1 + y^2 = 25$$
$$y^2(\cot^2\theta + 1) - 2y\cot\theta - 24 = 0$$
삼각함수의 성질인 $\cot^2\theta + 1 = \csc^2\theta$를 이용해 식을 정리하면 다음과 같습니다.
$$y^2\csc^2\theta - 2y\cot\theta - 24 = 0$$
이제 이 식의 양변을 $\theta$에 대해 미분해 봅시다. ($y$는 $\theta$에 대한 함수이므로 합성함수 미분법을 적용하고, $y'$는 $\frac{dy}{d\theta}$를 뜻합니다.)
$$\frac{d}{d\theta}(y^2\csc^2\theta) - \frac{d}{d\theta}(2y\cot\theta) = 0$$
$$\left(2yy'\csc^2\theta + y^2 \cdot 2\csc\theta(-\csc\theta\cot\theta)\right) - \left(2y'\cot\theta + 2y(-\csc^2\theta)\right) = 0$$
$$2yy'\csc^2\theta - 2y^2\csc^2\theta\cot\theta - 2y'\cot\theta + 2y\csc^2\theta = 0$$
여기에 우리가 구한 값들($\theta = \frac{\pi}{4}$, $y = 4$, $\cot\frac{\pi}{4} = 1$, $\csc^2\frac{\pi}{4} = 2$)을 대입합니다.
$$2(4)y'(2) - 2(16)(2)(1) - 2y'(1) + 2(4)(2) = 0$$
$$16y' - 64 - 2y' + 16 = 0$$
$$14y' = 48 \implies y' = \frac{24}{7}$$
5단계: $S'\left(\frac{\pi}{4}\right)$ 계산하기
이제 넓이 식 $S(\theta) = y^2\cot\theta$를 $\theta$에 대해 미분합니다.
$$S'(\theta) = 2yy'\cot\theta + y^2(-\csc^2\theta)$$
여기에 $\theta = \frac{\pi}{4}$일 때의 값들을 대입합니다.
$$S'\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2(4)\left(\frac{24}{7}\right)(1) - (16)(2)$$
$$S'\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{192}{7} - 32 = \frac{192 - 224}{7} = -\frac{32}{7}$$
우리가 최종적으로 구하고자 하는 값은 $-7 \times S'\left(\frac{\pi}{4}\right)$이므로,
$$-7 \times \left(-\frac{32}{7}\right) = 32$$
답
$$32$$
확인해보기
풀이 과정의 3단계에서 점 $\text{P}$의 $y$좌표를 구할 때 이차방정식의 해로 $y=4$와 $y=-3$이 나왔습니다. 이때 $y=-3$을 제외하고 **$y=4$만을 선택한 이유**를 문제에 제시된 조건($\theta$의 범위 등)과 연관 지어 스스로 설명해 보세요.