어떤 문제인가
이 문제는 지수에 무리수가 포함된 식을 간단히 정리하여 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 머릿속에 떠올려야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 지수법칙: 밑이 같은 두 거듭제곱을 곱할 때는 지수끼리 더합니다. 즉, $a^m \times a^n = a^{m+n}$ (단, $a > 0$)
- 무리수의 덧셈: 지수 자리에 있는 무리수 식을 동류항끼리 계산하여 정리합니다.
단계별 풀이
1단계: 지수법칙 적용하기
주어진 식은 $3^{1-\sqrt{5}} \times 3^{1+\sqrt{5}}$입니다. 두 수 모두 밑이 $3$으로 같습니다.
밑이 같은 두 지수식의 곱이므로, 지수법칙 $a^m \times a^n = a^{m+n}$을 사용하여 지수끼리 더해줍니다.
$$3^{1-\sqrt{5}} \times 3^{1+\sqrt{5}} = 3^{(1-\sqrt{5}) + (1+\sqrt{5})}$$
2단계: 지수 부분 계산하기
이제 지수 자리에 있는 식 $(1-\sqrt{5}) + (1+\sqrt{5})$을 계산해 봅시다.
괄호를 풀고 유리수는 유리수끼리, 무리수는 무리수끼리 모아서 계산합니다.
$$(1-\sqrt{5}) + (1+\sqrt{5}) = 1 + 1 - \sqrt{5} + \sqrt{5}$$
여기서 $-\sqrt{5}$와 $+\sqrt{5}$는 서로 더해져서 $0$이 됩니다. 따라서 지수는 다음과 같이 간단해집니다.
$$1 + 1 = 2$$
3단계: 최종 값 구하기
계산한 지수 $2$를 원래 식의 지수 자리에 다시 넣어줍니다.
$$3^2 = 3 \times 3 = 9$$
따라서 구하고자 하는 값은 $9$가 됩니다.
답
⑤ $9$
확인해보기
오늘 배운 지수법칙을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요? 다음 문제를 직접 풀어보세요.
> 질문: $2^{3-\sqrt{2}} \times 2^{1+\sqrt{2}}$의 값은 얼마일까요?