어떤 문제인가
이 문제는 삼차함수의 식을 구하고, 특정 함숫값을 찾는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리가 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 접선의 방정식과 기울기: 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(a, f(a))$에서의 접선의 기울기는 미분계수 $f'(a)$와 같습니다.
- 두 점을 지나는 직선의 기울기: 두 점 $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$를 지나는 직선의 기울기는 $\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$입니다.
- 인수정리를 이용한 식 세우기: 함수 $f(x)$가 $x=a$에서 접선 $y=b$를 가질 때, $f(x) - b$는 $(x-a)^2$을 인수로 가집니다.
이 개념들을 조합하여 복잡한 계산을 줄이고 효율적으로 식을 세워봅시다!
단계별 풀이
1단계: 점 $(2, 3)$에서의 접선 분석하기
문제에서 점 $(2, 3)$에서의 접선이 점 $(1, 3)$을 지난다고 했습니다.
두 점 $(2, 3)$과 $(1, 3)$의 $y$좌표가 $3$으로 같습니다. 즉, 이 두 점을 지나는 접선은 $y$축에 수직인 수평선인 **$y=3$**이 됩니다.
이 접선의 기울기는 $0$이므로, $x=2$에서의 미분계수는 $0$입니다.
$$f(2) = 3$$
$$f'(2) = 0$$
2단계: 삼차함수 $f(x)$의 식 세우기
최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$에 대하여, $f(2)=3$이고 $f'(2)=0$이므로 $f(x)-3=0$은 $x=2$를 중근으로 가집니다.
따라서 나머지 한 실근을 $k$라고 하면, $f(x)$를 다음과 같이 아주 간단하게 나타낼 수 있습니다.
$$f(x) - 3 = (x-2)^2(x-k)$$
$$f(x) = (x-2)^2(x-k) + 3$$
3단계: 점 $(-2, f(-2))$에서의 접선 조건 활용하기
점 $(-2, f(-2))$에서의 접선도 점 $(1, 3)$에서 만난다고 했습니다.
즉, $(-2, f(-2))$에서의 접선이 점 $(1, 3)$을 지납니다.
이 접선의 기울기는 $f'(-2)$입니다. 또한, 접선 위의 두 점 $(-2, f(-2))$와 $(1, 3)$을 연결한 직선의 기울기도 접선의 기울기와 같아야 합니다.
$$\text{기울기} = \frac{3 - f(-2)}{1 - (-2)} = \frac{3 - f(-2)}{3}$$
이 값이 $f'(-2)$와 같으므로 식을 세우면 다음과 같습니다.
$$f'(-2) = \frac{3 - f(-2)}{3}$$
$$3f'(-2) = 3 - f(-2) \quad \cdots \quad (\star)$$
4단계: 미지수 $k$ 구하기
이제 $f(x) = (x-2)^2(x-k) + 3$을 이용하여 $f(-2)$와 $f'(-2)$를 $k$에 대한 식으로 나타내어 봅시다.
먼저 $f(-2)$를 구합니다.
$$f(-2) = (-2-2)^2(-2-k) + 3 = 16(-2-k) + 3 = -16k - 29$$
다음으로 곱의 미분법을 이용해 $f'(x)$를 구합니다.
$$f'(x) = 2(x-2)(x-k) + (x-2)^2 = (x-2)\{2(x-k) + (x-2)\} = (x-2)(3x - 2k - 2)$$
$x = -2$를 대입하여 $f'(-2)$를 구합니다.
$$f'(-2) = (-2-2)\{3(-2) - 2k - 2\} = -4(-8 - 2k) = 8k + 32$$
이 값들을 앞서 구한 식 $(\star)$에 대입합니다.
$$3(8k + 32) = 3 - (-16k - 29)$$
$$24k + 96 = 16k + 32$$
$$8k = -64$$
$$k = -8$$
5단계: $f(0)$의 값 구하기
$k = -8$을 $f(x)$ 식에 대입하면 삼차함수가 완성됩니다.
$$f(x) = (x-2)^2(x+8) + 3$$
우리가 구하고자 하는 $f(0)$의 값을 계산합니다.
$$f(0) = (0-2)^2(0+8) + 3 = 4 \times 8 + 3 = 35$$
답
③ $35$
확인해보기
최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $g(x)$가 $g(1)=5$, $g'(1)=0$을 만족할 때, 상수 $k$를 사용하여 $g(x)$의 식을 어떻게 세울 수 있을까요? (위의 2단계를 참고하여 스스로 식을 적어보세요.)