어떤 문제인가
이 문제는 두 점의 속도 함수와 출발할 때의 위치가 주어졌을 때, **"두 점 사이의 거리가 처음으로 $4$가 되는 순간"을 찾고, 그 순간까지 "점 $\text{P}$가 실제로 움직인 총 거리"**를 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 꼭 알아야 할 핵심 개념 3가지는 다음과 같습니다.
- 속도와 위치의 관계: 속도를 적분하면 위치의 변화량을 알 수 있고, 여기에 처음 위치를 더하면 현재 위치가 됩니다.
- 두 점 사이의 거리: 수직선 위에서 두 점 $x_1$과 $x_2$ 사이의 거리는 두 위치의 차에 절댓값을 씌운 $|x_1 - x_2|$입니다.
- 움직인 거리 (이동 거리): 위치의 변화량이 아니라, 실제로 움직인 총 거리이므로 **속력(속도의 절댓값 $|v(t)|$)**을 적분해야 합니다. 즉, 운동 방향이 바뀔 때를 기준으로 구간을 나누어 계산해야 합니다.
단계별 풀이
1단계: 두 점 $\text{P}$와 $\text{Q}$의 위치 함수 $x_1(t)$, $x_2(t)$ 구하기
위치는 '처음 위치 + 위치의 변화량(속도의 정적분)'으로 구할 수 있습니다.
- **점 $\text{P}$의 위치 $x_1(t)$**:
출발할 때($t=0$)의 위치가 $\text{A}(1)$이므로,
$$x_1(t) = 1 + \int_0^t v_1(u) du = 1 + \int_0^t (3u^2 + 4u - 7) du$$
적분해 볼까요?
$$x_1(t) = 1 + [u^3 + 2u^2 - 7u]_0^t = t^3 + 2t^2 - 7t + 1$$
- **점 $\text{Q}$의 위치 $x_2(t)$**:
출발할 때($t=0$)의 위치가 $\text{B}(8)$이므로,
$$x_2(t) = 8 + \int_0^t v_2(u) du = 8 + \int_0^t (2u + 4) du$$
적분하면 다음과 같습니다.
$$x_2(t) = 8 + [u^2 + 4u]_0^t = t^2 + 4t + 8$$
2단계: 두 점 사이의 거리가 처음으로 $4$가 되는 시각 $t$ 구하기
두 점 사이의 거리는 $|x_1(t) - x_2(t)|$입니다. 이 값이 $4$가 되는 식을 세워봅시다.
먼저 두 위치의 차를 계산해 볼게요.
$$x_1(t) - x_2(t) = (t^3 + 2t^2 - 7t + 1) - (t^2 + 4t + 8) = t^3 + t^2 - 11t - 7$$
따라서 우리가 풀어야 할 방정식은 다음과 같습니다.
$$|t^3 + t^2 - 11t - 7| = 4$$
절댓값을 벗기기 위해 두 가지 경우로 나누어 풀어봅시다. ($t \ge 0$인 범위만 생각합니다.)
**[경우 1] $t^3 + t^2 - 11t - 7 = 4$ 일 때**
$$t^3 + t^2 - 11t - 11 = 0$$
공통인수로 묶어볼까요?
$$t^2(t+1) - 11(t+1) = 0 \implies (t^2 - 11)(t+1) = 0$$
$t \ge 0$이므로 양수인 근은 **$t = \sqrt{11}$** (약 $3.32$초)입니다.
**[경우 2] $t^3 + t^2 - 11t - 7 = -4$ 일 때**
$$t^3 + t^2 - 11t - 3 = 0$$
이 삼차방정식의 근을 찾기 위해 $t$에 간단한 정수를 대입해 봅시다.
$t=3$을 대입하면,
$$3^3 + 3^2 - 11(3) - 3 = 27 + 9 - 33 - 3 = 0$$
딱 맞아떨어지네요! 조립제법을 이용해 인수분해하면 다음과 같습니다.
$$(t-3)(t^2 + 4t + 1) = 0$$
여기서 $t^2 + 4t + 1 = 0$의 근은 근의 공식에 의해 $t = -2 \pm \sqrt{3}$인데, 이 값들은 모두 음수입니다.
따라서 이 경우의 양수인 근은 **$t = 3$**뿐입니다.
결론:
두 점 사이의 거리가 $4$가 되는 시각은 $t = 3$과 $t = \sqrt{11}$입니다.
이 중 처음으로 거리가 $4$가 되는 시각을 물었으므로, 더 이른 시간인 **$t = 3$**을 선택해야 합니다. (참고: $3 = \sqrt{9} < \sqrt{11}$)
3단계: $t=0$부터 $t=3$까지 점 $\text{P}$가 움직인 거리 구하기
움직인 거리는 속도 $v_1(t)$의 절댓값을 적분해야 합니다. 즉, 점 $\text{P}$가 방향을 바꾸었는지 확인해야 해요.
점 $\text{P}$의 속도 식을 인수분해 해봅시다.
$$v_1(t) = 3t^2 + 4t - 7 = (3t + 7)(t - 1)$$
$t \ge 0$에서 속도 $v_1(t)$의 부호를 살펴보면:
- $0 \le t < 1$ 일 때: $v_1(t) < 0$ (음수 방향, 즉 왼쪽으로 움직임)
- $t > 1$ 일 때: $v_1(t) > 0$ (양수 방향, 즉 오른쪽으로 움직임)
즉, $t=1$일 때 운동 방향을 바꿉니다! 따라서 움직인 거리는 $t=1$을 기준으로 구간을 나누어 계산해야 합니다.
$$\text{움직인 거리} = \int_0^3 |v_1(t)| dt = \int_0^1 -v_1(t) dt + \int_1^3 v_1(t) dt$$
각 구간에서의 위치 변화를 쉽게 구하기 위해, 앞서 구한 위치 함수 $x_1(t) = t^3 + 2t^2 - 7t + 1$에 시각들을 대입해 봅시다.
- $t=0$ 일 때 위치: $x_1(0) = 1$
- $t=1$ 일 때 위치: $x_1(1) = 1 + 2 - 7 + 1 = -3$
- $t=3$ 일 때 위치: $x_1(3) = 27 + 18 - 21 + 1 = 25$
이제 각 구간에서 움직인 거리를 구합니다.
- $t=0$에서 $t=1$까지 움직인 거리:
$$|x_1(1) - x_1(0)| = |-3 - 1| = 4$$
- $t=1$에서 $t=3$까지 움직인 거리:
$$|x_1(3) - x_1(1)| = |25 - (-3)| = 28$$
따라서 총 움직인 거리는 다음과 같습니다.
$$\text{총 움직인 거리} = 4 + 28 = 32$$
답
정답은 **⑤ $32$** 입니다.
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 점검해 볼까요?
> 질문: 어떤 물체의 시각 $t$에서의 속도가 $v(t) = 2t - 4$이고, $t=0$일 때의 위치가 $0$입니다. 이 물체가 $t=0$부터 $t=3$까지 움직였을 때, '위치의 변화량'과 '실제 움직인 거리'는 각각 얼마일까요? 왜 두 값이 다르게 나올까요?