어떤 문제인가
이 문제는 주어진 규칙에 따라 변하는 수열 $\{a_n\}$에서, 특정 조건($a_2 + a_4 = 40$)을 만족하는 첫째항 $a_1$의 후보들을 찾는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 귀납적으로 정의된 수열: 이전 항의 값에 따라 다음 항이 결정되는 규칙을 이해합니다.
- 분류하여 풀기 (경우 분류): $a_n$이 홀수인지 짝수인지에 따라 적용되는 규칙이 다르므로, 첫째항 $a_1$이 홀수일 때와 짝수일 때로 나누어 차근차근 수형도를 그리듯 생각해야 합니다.
단계별 풀이
1단계: 첫째항 $a_1$이 홀수인 경우 ($a_1 = 2k-1$, $k$는 자연수)
$a_1$이 홀수이므로 다음 항 $a_2$는 첫 번째 규칙($a_n + 1$)을 따릅니다.
$$a_2 = a_1 + 1$$
이때, 홀수에 $1$을 더했으므로 **$a_2$는 반드시 짝수**가 됩니다.
$a_2$가 짝수이므로 $a_3$은 두 번째 규칙($\frac{1}{2}a_n$)을 따릅니다.
$$a_3 = \frac{1}{2}a_2 = \frac{a_1 + 1}{2}$$
이제 $a_3$이 홀수인지 짝수인지 알 수 없으므로, 여기서 다시 두 가지 경우로 나눕니다.
[경우 1-1] $a_3$이 홀수인 경우
$a_4$는 $a_3 + 1$이 됩니다.
$$a_4 = a_3 + 1 = \frac{a_1 + 1}{2} + 1 = \frac{a_1 + 3}{2}$$
문제의 조건 $a_2 + a_4 = 40$에 대입해 봅시다.
$$(a_1 + 1) + \frac{a_1 + 3}{2} = 40$$
양변에 $2$를 곱하여 정리합니다.
$$2(a_1 + 1) + (a_1 + 3) = 80$$
$$3a_1 + 5 = 80 \implies 3a_1 = 75 \implies a_1 = 25$$
- 확인: $a_1 = 25$는 홀수가 맞고, 이때 $a_2 = 26$, $a_3 = 13$(홀수), $a_4 = 14$가 되어 모든 조건이 성립합니다. (첫 번째 값: **$25$**)
[경우 1-2] $a_3$이 짝수인 경우
$a_4$는 $\frac{1}{2}a_3$이 됩니다.
$$a_4 = \frac{1}{2}a_3 = \frac{a_1 + 1}{4}$$
조건 $a_2 + a_4 = 40$에 대입해 봅시다.
$$(a_1 + 1) + \frac{a_1 + 1}{4} = 40$$
통분하여 정리하면 다음과 같습니다.
$$\frac{5(a_1 + 1)}{4} = 40 \implies 5(a_1 + 1) = 160 \implies a_1 + 1 = 32 \implies a_1 = 31$$
- 확인: $a_1 = 31$은 홀수가 맞고, 이때 $a_2 = 32$, $a_3 = 16$(짝수), $a_4 = 8$이 되어 모든 조건이 성립합니다. (두 번째 값: **$31$**)
2단계: 첫째항 $a_1$이 짝수인 경우 ($a_1 = 2k$, $k$는 자연수)
$a_1$이 짝수이므로 $a_2$는 두 번째 규칙을 따릅니다.
$$a_2 = \frac{1}{2}a_1$$
여기서 $a_2$가 홀수인지 짝수인지 알 수 없으므로 다시 나눕니다.
[경우 2-1] $a_2$가 홀수인 경우
$a_3$은 $a_2 + 1$이 됩니다.
$$a_3 = a_2 + 1 = \frac{1}{2}a_1 + 1$$
홀수에 $1$을 더했으므로 **$a_3$은 반드시 짝수**가 됩니다. 따라서 $a_4$는 다음과 같습니다.
$$a_4 = \frac{1}{2}a_3 = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}a_1 + 1\right) = \frac{1}{4}a_1 + \frac{1}{2}$$
조건 $a_2 + a_4 = 40$에 대입해 봅시다.
$$\frac{1}{2}a_1 + \left(\frac{1}{4}a_1 + \frac{1}{2}\right) = 40$$
$$\frac{3}{4}a_1 + \frac{1}{2} = 40 \implies \frac{3}{4}a_1 = \frac{79}{2} \implies a_1 = \frac{158}{3}$$
하지만 $a_1$은 자연수여야 하므로, 이 경우는 조건에 맞는 $a_1$이 존재하지 않습니다.
[경우 2-2] $a_2$가 짝수인 경우
$a_3$은 $\frac{1}{2}a_2$가 됩니다.
$$a_3 = \frac{1}{2}a_2 = \frac{1}{4}a_1$$
여기서 다시 $a_3$의 홀짝에 따라 나눕니다.
##### [경우 2-2-1] $a_3$이 홀수인 경우
$a_4$는 $a_3 + 1$이 됩니다.
$$a_4 = a_3 + 1 = \frac{1}{4}a_1 + 1$$
조건 $a_2 + a_4 = 40$에 대입해 봅시다.
$$\frac{1}{2}a_1 + \left(\frac{1}{4}a_1 + 1\right) = 40$$
$$\frac{3}{4}a_1 = 39 \implies a_1 = 39 \times \frac{4}{3} = 52$$
- 확인: $a_1 = 52$는 짝수가 맞고, $a_2 = 26$(짝수), $a_3 = 13$(홀수), $a_4 = 14$가 되어 모든 조건이 성립합니다. (세 번째 값: **$52$**)
##### [경우 2-2-2] $a_3$이 짝수인 경우
$a_4$는 $\frac{1}{2}a_3$이 됩니다.
$$a_4 = \frac{1}{2}a_3 = \frac{1}{8}a_1$$
조건 $a_2 + a_4 = 40$에 대입해 봅시다.
$$\frac{1}{2}a_1 + \frac{1}{8}a_1 = 40$$
$$\frac{5}{8}a_1 = 40 \implies a_1 = 40 \times \frac{8}{5} = 64$$
- 확인: $a_1 = 64$는 짝수가 맞고, $a_2 = 32$(짝수), $a_3 = 16$(짝수), $a_4 = 8$이 되어 모든 조건이 성립합니다. (네 번째 값: **$64$**)
3단계: 모든 $a_1$의 값의 합 구하기
구한 모든 가능한 $a_1$의 값은 $25, 31, 52, 64$입니다. 이 값들을 모두 더합니다.
$$\text{합} = 25 + 31 + 52 + 64 = 172$$
답
**① $172$**
확인해보기
위 문제의 풀이 과정을 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요!
> 질문: 만약 첫째항 $a_1$이 홀수이고, $a_2 + a_3 = 15$를 만족한다면, 이때 가능한 첫째항 $a_1$의 값은 얼마일까요? (위의 1단계 풀이 과정을 참고하여 스스로 식을 세워 풀어보세요.)