어떤 문제인가
이 문제는 주어진 범위에 따라 다르게 정의된 삼차함수가 특정 구간에서 증가하거나 감소할 조건을 이용해서, 미지수 $a, b$의 범위를 구하고 $a+b$의 최댓값과 최솟값을 찾는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 머릿속에 꼭 넣어야 할 핵심 개념 3가지는 다음과 같습니다.
- 함수의 증가와 감소: 어떤 구간에서 함수 $f(x)$가 증가하면 도함수 $f'(x) \ge 0$이고, 감소하면 $f'(x) \le 0$입니다.
- 경계에서의 연속성과 미분가능성: 함수가 증가에서 감소로(또는 감소에서 증가로) 바뀌는 지점에서는 도함수의 부호가 바뀝니다.
- 이차함수의 최대·최소: 제한된 범위에서 이차부등식이 항상 성립할 조건을 축의 위치에 따라 나누어 생각해야 합니다.
단계별 풀이
1단계: 도함수 구하기와 $x = -1$에서의 조건 분석하기
함수의 증가와 감소를 알기 위해 먼저 $f(x)$를 미분하여 도함수 $f'(x)$를 구합니다.
$$f'(x) = \begin{cases} -x^2 - 2ax - b & (x < 0) \\ x^2 + 2ax - b & (x > 0) \end{cases}$$
문제에서 $f(x)$는 구간 $(-\infty, -1]$에서 감소하고, 구간 $[-1, \infty)$에서 증가한다고 했습니다.
즉, $x = -1$을 기준으로 함수의 증가·감소 상태가 바뀝니다.
$x = -1$은 $x < 0$인 영역에 속하므로, $f'(x) = -x^2 - 2ax - b$의 부호가 $x = -1$에서 바뀌어야 합니다.
따라서 $f'(-1) = 0$이어야 합니다.
$$f'(-1) = -(-1)^2 - 2a(-1) - b = -1 + 2a - b = 0$$
이를 정리하면 $b$를 $a$에 대한 식으로 나타낼 수 있습니다.
$$b = 2a - 1 \quad \cdots \text{ (식 1)}$$
2단계: $x < 0$인 구간에서의 조건 분석하기
이제 $b = 2a - 1$을 $x < 0$일 때의 도함수에 대입해 봅시다.
$$f'(x) = -x^2 - 2ax - (2a - 1) = -(x^2 + 2ax + 2a - 1)$$
인수분해를 하면 다음과 같습니다.
$$f'(x) = -(x + 1)(x + 2a - 1)$$
이 도함수는 위로 볼록한 이차함수 형태입니다. 문제의 조건에 따라 다음이 성립해야 합니다.
- $x \le -1$에서 $f'(x) \le 0$ (감소)
- $-1 \le x < 0$에서 $f'(x) \ge 0$ (증가)
위로 볼록한 이차함수 $f'(x)$가 $x = -1$에서 $0$이 되고, $x > -1$인 구간(구체적으로는 $-1$과 $0$ 사이)에서 $0$ 이상이 되려면, 다른 한 근인 $1 - 2a$가 $0$보다 크거나 같아야 합니다. (만약 $1-2a$가 $0$보다 작다면, $-1$과 $0$ 사이에서 도함수 부호가 음수로 바뀌는 부분이 생기기 때문입니다.)
따라서 다음 조건을 만족해야 합니다.
$$1 - 2a \ge 0 \implies a \le \frac{1}{2} \quad \cdots \text{ (식 2)}$$
3단계: $x \ge 0$인 구간에서의 조건 분석하기
이제 $x \ge 0$인 구간을 봅시다. 이 구간 전체에서 함수는 증가해야 하므로, $x > 0$일 때 $f'(x) \ge 0$이어야 합니다.
$b = 2a - 1$을 대입하면 다음과 같습니다.
$$f'(x) = x^2 + 2ax - (2a - 1) \ge 0 \quad (\text{단, } x > 0)$$
이 이차함수의 축의 방정식은 $x = -a$입니다. 축의 위치에 따라 범위를 나누어 생각해야 합니다.
경우 3-1: 축이 $y$축의 왼쪽 또는 위에 있을 때 ($-a \le 0 \implies a \ge 0$)
축이 왼쪽에 있으므로, $x \ge 0$ 범위에서 이 함수는 계속 증가합니다. 따라서 $x = 0$일 때의 함숫값이 $0$ 이상이면 항상 $f'(x) \ge 0$을 만족합니다.
$$f'(0) = -(2a - 1) \ge 0 \implies a \le \frac{1}{2}$$
이 조건과 $a \ge 0$을 동시에 만족하는 범위는 다음과 같습니다.
$$0 \le a \le \frac{1}{2}$$
경우 3-2: 축이 $y$축의 오른쪽에 있을 때 ($-a > 0 \implies a < 0$)
축이 오른쪽에 있으므로, $x \ge 0$ 범위에서의 최솟값은 꼭짓점인 $x = -a$에서 가집니다. 따라서 꼭짓점의 $y$좌표가 $0$ 이상이어야 합니다.
$$f'(-a) = (-a)^2 + 2a(-a) - (2a - 1) = -a^2 - 2a + 1 \ge 0$$
양변에 $-1$을 곱하면:
$$a^2 + 2a - 1 \le 0$$
이차방정식 $a^2 + 2a - 1 = 0$의 해를 구하면 $a = -1 \pm \sqrt{2}$이므로, 부등식의 해는 다음과 같습니다.
$$-1 - \sqrt{2} \le a \le -1 + \sqrt{2}$$
이 조건과 $a < 0$을 동시에 만족하는 범위는 다음과 같습니다. (참고: $-1 + \sqrt{2} \approx 0.414 > 0$)
$$-1 - \sqrt{2} \le a < 0$$
경우 3-1과 3-2 합치기
두 범위를 합치면 $a$의 최종 범위는 다음과 같습니다.
$$-1 - \sqrt{2} \le a \le \frac{1}{2} \quad \cdots \text{ (식 3)}$$
4단계: $a+b$의 최댓값과 최솟값 구하기
우리가 구하고자 하는 값은 $a+b$의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$입니다.
(식 1)에서 $b = 2a - 1$이므로, 이를 대입하면 $a+b$를 $a$에 대한 일차식으로 나타낼 수 있습니다.
$$a + b = a + (2a - 1) = 3a - 1$$
(식 3)의 $a$의 범위에 $3$을 곱하고 $1$을 빼서 $3a-1$의 범위를 구합니다.
$$-1 - \sqrt{2} \le a \le \frac{1}{2}$$
$$-3 - 3\sqrt{2} \le 3a \le \frac{3}{2}$$
$$-4 - 3\sqrt{2} \le 3a - 1 \le \frac{1}{2}$$
따라서 최댓값 $M$과 최솟값 $m$은 다음과 같습니다.
$$M = \frac{1}{2}$$
$$m = -4 - 3\sqrt{2}$$
최종적으로 구하는 값 $M - m$은 다음과 같습니다.
$$M - m = \frac{1}{2} - (-4 - 3\sqrt{2}) = \frac{9}{2} + 3\sqrt{2}$$
답
정답은 ③입니다.
확인해보기
질문: 3단계에서 $x \ge 0$일 때 $f'(x) \ge 0$이어야 하는 조건을 풀 때, 왜 $a$의 부호(축의 위치)에 따라 경우를 나누어 풀어야 했을까요? 그래프의 모양을 상상하며 그 이유를 스스로 설명해 보세요.