어떤 문제인가
이 문제는 주어진 범위에 따라 다르게 정의된 지수함수 $f(x)$의 그래프를 이해하고, $x \le k$인 영역에서 함숫값 중 정수인 것의 개수가 딱 2개가 되도록 하는 조건을 찾는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 지수함수의 그래프와 점근선: 밑이 1보다 큰지 작은지에 따른 그래프의 증가·감소 상태와 점근선 이해하기
- 구간에 따른 치역(함숫값의 범위) 분석: $x \le k$ 범위에서 $f(x)$가 가질 수 있는 값의 범위 구하기
- 경계값 분석: $k$의 범위가 $3 \le k < 4$로 제한될 때, 정수 개수가 변하는 순간을 포착하기
단계별 풀이
1단계: $x > -8$ 영역에서 확실한 그래프 먼저 그리기
함수 $f(x)$는 $x = -8$을 기준으로 두 부분으로 나뉩니다. 이 중 우리가 완벽하게 식을 알고 있는 $x > -8$ 영역의 함수부터 분석해 봅시다.
$$f(x) = -3^{x-3}+8 \quad (x > -8)$$
- 이 함수는 밑이 3인 지수함수 $3^{x-3}$에 마이너스 부호가 붙어 있으므로, $x$가 커질수록 감소하는 그래프입니다.
- $x \to -\infty$일 때 점근선은 $y = 8$입니다. (실제로는 $x > -8$이므로 $x$가 $-8$에 가까워질 때 $f(x)$는 $8$보다 아주 조금 작은 값입니다.)
- 조건에서 $k$의 범위가 $3 \le k < 4$라고 했으므로, $x=3$과 $x=4$일 때의 함숫값을 구해 둡시다.
* $f(3) = -3^{3-3} + 8 = -1 + 8 = 7$
* $f(4) = -3^{4-3} + 8 = -3 + 8 = 5$
2단계: 오른쪽 구간에서 정수가 추가되는 시각 구하기
$-8<x\le k$에서 정확한 치역은
$$[f(k),\,8-3^{-11})$$
입니다. 위끝이 $8$보다 조금 작으므로 정수 함숫값은 $7$부터 차례로 추가됩니다.
- $k<3$이면 오른쪽 구간에서 정수 함숫값이 없습니다.
- $3\le k<3+\log_3 2$이면 정수는 $7$ 하나입니다.
- $3+\log_3 2\le k<4$이면 정수는 $6,7$입니다.
- $k=4$이면 $f(4)=5$가 되어 정수 $5$가 추가됩니다.
특히 $3<k<4$라고 해서 언제나 $6$이 들어오는 것은 아닙니다. $f(k)\le6$이 되는 경계를 확인해야 합니다.
3단계: 왼쪽 구간의 유일한 정수 찾기
$x\le-8$에서 정수 함숫값이 둘 이상이면, 왼쪽 증가함수의 범위를 넓혀 가는 도중 이미 정수가 정확히 두 개가 되는 $k\le-8$이 존재합니다. 이는 문제에서 정한 범위 $3\le k<4$에 어긋납니다. 따라서 왼쪽 구간의 정수는 많아야 하나입니다.
$k=3$에서 오른쪽 정수는 $7$뿐인데 전체에서는 두 개여야 하므로, 왼쪽 구간에는 $7$과 다른 정수 $N$이 정확히 하나 있어야 합니다. 또 $3+\log_3 2\le k<4$에서는 오른쪽에 $6,7$이 모두 들어오므로, 전체 개수를 두 개로 유지하려면 $N=6$이어야 합니다.
따라서 왼쪽 구간에서 나오는 정수 함숫값은 $6$ 하나입니다.
4단계: 자연수 $a, b$ 구하기
이제 $x \le -8$ 영역의 함수를 봅시다.
$$f(x) = 2^{x+a}+b \quad (x \le -8)$$
- 이 함수는 밑이 2인 증가함수이며, 점근선은 $y = b$입니다.
- 따라서 $x \le -8$일 때 함숫값의 범위는 다음과 같습니다.
$$b < f(x) \le 2^{-8+a}+b$$
- 이 범위 안에 있는 정수가 오직 $6$ 하나뿐이어야 합니다.
- $b$는 자연수(정수)이므로, $b$보다 큰 첫 번째 정수는 $b+1$입니다. 따라서 이 유일한 정수가 $6$이 되어야 하므로 다음과 식을 세울 수 있습니다.
$$b + 1 = 6 \implies b = 5$$
$b = 5$를 대입하면 범위는 $(5, 2^{-8+a}+5]$가 됩니다. 이 범위에 정수 $6$만 포함되고 $7$은 포함되지 않아야 하므로, 범위의 최댓값인 $2^{-8+a}+5$는 $6$ 이상, $7$ 미만이어야 합니다.
$$6 \le 2^{-8+a}+5 < 7$$
양변에서 $5$를 빼면,
$$1 \le 2^{-8+a} < 2$$
지수 형태로 나타내면,
$$2^0 \le 2^{-8+a} < 2^1$$
따라서 지수를 비교하면,
$$0 \le -8+a < 1$$
$$8 \le a < 9$$
$a$는 자연수이므로 $a = 8$입니다.
최종적으로 구하고자 하는 값은 다음과 같습니다.
$$a + b = 8 + 5 = 13$$
구한 $a=8$, $b=5$일 때 왼쪽 치역은 $(5,6]$입니다. $k<3$에서는 정수 함숫값이 많아야 하나이고, $3\le k<4$에서는 정확히 $6,7$입니다. $k\ge4$에서는 $5$도 포함되어 세 개 이상이므로, 요구한 범위와 정확히 일치합니다.
답
② 13
확인해보기
공부를 마친 후, 스스로의 힘으로 다음 질문에 답해 보며 개념을 다져보세요!
> 질문: $k=4$일 때 오른쪽 구간에서 이미 정수 함숫값 $5,6,7$이 모두 나옵니다. 그렇다면 정수의 개수가 두 개인 $k$의 범위를 $4\le k<5$로 바꾼 조건을 만족하는 $a,b$가 존재할 수 있을까요?