어떤 문제인가
이 문제는 주어진 범위에 따라 다르게 정의된 지수함수 $f(x)$의 그래프를 이해하고, $x \le k$인 영역에서 함숫값 중 정수인 것의 개수가 딱 2개가 되도록 하는 조건을 찾는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 지수함수의 그래프와 점근선: 밑이 1보다 큰지 작은지에 따른 그래프의 증가·감소 상태와 점근선 이해하기
- 구간에 따른 치역(함숫값의 범위) 분석: $x \le k$ 범위에서 $f(x)$가 가질 수 있는 값의 범위 구하기
- 경계값 분석: $k$의 범위가 $3 \le k < 4$로 제한될 때, 정수 개수가 변하는 순간을 포착하기
단계별 풀이
1단계: $x > -8$ 영역에서 확실한 그래프 먼저 그리기
함수 $f(x)$는 $x = -8$을 기준으로 두 부분으로 나뉩니다. 이 중 우리가 완벽하게 식을 알고 있는 $x > -8$ 영역의 함수부터 분석해 봅시다.
$$f(x) = -3^{x-3}+8 \quad (x > -8)$$
- 이 함수는 밑이 3인 지수함수 $3^{x-3}$에 마이너스 부호가 붙어 있으므로, $x$가 커질수록 감소하는 그래프입니다.
- $x \to -\infty$일 때 점근선은 $y = 8$입니다. (실제로는 $x > -8$이므로 $x$가 $-8$에 가까워질 때 $f(x)$는 $8$보다 아주 조금 작은 값입니다.)
- 조건에서 $k$의 범위가 $3 \le k < 4$라고 했으므로, $x=3$과 $x=4$일 때의 함숫값을 구해 둡시다.
* $f(3) = -3^{3-3} + 8 = -1 + 8 = 7$
* $f(4) = -3^{4-3} + 8 = -3 + 8 = 5$
2단계: $3 \le k < 4$일 때, $x > -8$ 영역에서의 정수 함숫값 분석하기
우리가 관심 있는 집합은 $\{f(x) \mid x \le k\}$입니다. 이 집합의 원소 중 정수가 2개여야 합니다.
$k$가 $3 \le k < 4$일 때, $-8 < x \le k$ 범위에서 $f(x)$가 가질 수 있는 값의 범위를 알아봅시다.
$f(x)$는 감소함수이므로, $-8 < x \le k$에서 함숫값의 범위는 다음과 같습니다.
$$f(k) \le f(x) < 8$$
이제 $k$의 값에 따라 이 범위 안에 들어오는 정수가 어떻게 변하는지 살펴봅시다.
- **$k = 3$일 때**:
함숫값의 범위는 $f(3) \le f(x) < 8$, 즉 $[7, 8)$입니다.
이 구간에 포함되는 정수는 **$7$ 하나뿐**입니다.
- **$3 < k < 4$일 때**:
$f(k)$는 $f(3)=7$보다 작고 $f(4)=5$보다 큰 값을 가집니다. 즉, $5 < f(k) < 7$입니다.
따라서 함숫값의 범위 $[f(k), 8)$에 포함되는 정수는 **$7$과 $6$**이 됩니다. (만약 $f(k)$가 $5$ 이하로 내려가면 $5$도 포함되겠지만, $k < 4$이므로 $f(k) > 5$가 되어 $5$는 포함되지 않습니다.)
3단계: $x \le -8$ 영역의 조건 유추하기
전체 범위 $x \le k$에서 정수인 함숫값의 개수가 항상 2개여야 합니다.
- **$k = 3$일 때**:
위에서 $x > -8$ 영역에서는 정수 **$7$** 하나만 확보되었습니다. 전체 정수가 2개가 되려면, $x \le -8$ 영역에서 **$7$이 아닌 다른 정수 딱 1개**를 추가로 가져야 합니다. 이 정수를 $N$이라 합시다.
- **$3 < k < 4$일 때**:
$x > -8$ 영역에서 이미 정수 **$6$과 $7$** 두 개가 확보되었습니다. 전체 정수가 여전히 2개여야 하므로, $x \le -8$ 영역에서 나오는 정수 $N$은 새로 추가되는 것이 아니라 이미 존재하는 $6$ 또는 $7$ 중 하나여야 합니다.
이 두 조건을 동시에 만족하려면, $x \le -8$ 영역에서 가질 수 있는 정수 함숫값은 오직 **$6$ 단 하나**여야 합니다!
(만약 $N=6$이면, $k=3$일 때 $\{6, 7\}$로 2개, $3 < k < 4$일 때도 $\{6, 7\}$로 2개가 되어 조건을 완벽히 만족합니다.)
4단계: 자연수 $a, b$ 구하기
이제 $x \le -8$ 영역의 함수를 봅시다.
$$f(x) = 2^{x+a}+b \quad (x \le -8)$$
- 이 함수는 밑이 2인 증가함수이며, 점근선은 $y = b$입니다.
- 따라서 $x \le -8$일 때 함숫값의 범위는 다음과 같습니다.
$$b < f(x) \le 2^{-8+a}+b$$
- 이 범위 안에 있는 **정수가 오직 $6$ 하나뿐**이어야 합니다.
- $b$는 자연수(정수)이므로, $b$보다 큰 첫 번째 정수는 $b+1$입니다. 따라서 이 유일한 정수가 $6$이 되어야 하므로 다음과 식을 세울 수 있습니다.
$$b + 1 = 6 \implies b = 5$$
$b = 5$를 대입하면 범위는 $(5, 2^{-8+a}+5]$가 됩니다. 이 범위에 정수 $6$만 포함되고 $7$은 포함되지 않아야 하므로, 범위의 최댓값인 $2^{-8+a}+5$는 $6$ 이상, $7$ 미만이어야 합니다.
$$6 \le 2^{-8+a}+5 < 7$$
양변에서 $5$를 빼면,
$$1 \le 2^{-8+a} < 2$$
지수 형태로 나타내면,
$$2^0 \le 2^{-8+a} < 2^1$$
따라서 지수를 비교하면,
$$0 \le -8+a < 1$$
$$8 \le a < 9$$
$a$는 자연수이므로 **$a = 8$**입니다.
최종적으로 구하고자 하는 값은 다음과 같습니다.
$$a + b = 8 + 5 = 13$$
답
② 13
확인해보기
공부를 마친 후, 스스로의 힘으로 다음 질문에 답해 보며 개념을 다져보세요!
> 질문: 만약 문제의 조건에서 정수의 개수가 2가 되도록 하는 $k$의 범위가 $3 \le k < 4$가 아니라 **$4 \le k < 5$**로 바뀌었다면, $x > -8$ 영역에서 $k=4$일 때와 $4 < k < 5$일 때 각각 포함되는 정수 함숫값은 무엇이 될까요?