어떤 문제인가
이 문제는 삼차함수 $f(x)$의 성질과 함수의 극한, 그리고 연속성의 개념을 융합한 아주 좋은 문제입니다. 우리가 이 문제를 해결하기 위해 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 함수의 연속과 불연속: 함수가 특정 점에서 연속이려면 극한값과 함숫값이 같아야 합니다. 만약 이 둘이 다르다면 그 점에서는 불연속입니다.
- **극한의 성질 ($\frac{0}{0}$ 꼴)**: 분수 형태의 식에서 극한값이 존재하고 분모가 $0$으로 수렴하면, 분자도 반드시 $0$으로 수렴해야 합니다.
- 인수정리: 다항함수 $f(a) = 0$이면, $f(x)$는 $(x-a)$를 인수로 가집니다.
단계별 풀이
1단계: $f(3) = 0$ 임을 밝히기
문제에서 주어진 조건인 $\lim_{x \to 3} g(x) = g(3) - 1$을 유심히 살펴봅시다.
만약 $f(3) \neq 0$이라면, $g(x)$는 $x=3$ 근처에서 분모가 $0$이 되지 않으므로 연속함수들의 사칙연산으로 이루어져 연속입니다. 즉, $\lim_{x \to 3} g(x) = g(3)$이 되어야 합니다.
하지만 조건에서는 극한값과 함숫값이 $1$만큼 차이가 난다고 했으므로, $g(x)$는 $x=3$에서 불연속이어야 합니다.
따라서 $g(x)$의 정의에 따라 **$f(3) = 0$**일 수밖에 없습니다.
$f(3) = 0$이므로 $g(3) = 3$이 되고, 조건식에 대입하면 극한값은 다음과 같습니다.
$$\lim_{x \to 3} g(x) = g(3) - 1 = 3 - 1 = 2$$
2단계: 극한식을 정리하여 $f(6) = 0$ 찾아내기
이제 $x \to 3$일 때의 극한식을 써봅시다. $x \neq 3$이면서 $3$에 가까워지는 상황이므로 $f(x) \neq 0$일 때의 식을 사용합니다.
$$\lim_{x \to 3} g(x) = \lim_{x \to 3} \frac{f(x+3)\{f(x)+1\}}{f(x)} = 2$$
여기서 $x \to 3$일 때 $f(x) \to f(3) = 0$이므로, $\{f(x)+1\} \to 1$로 수렴합니다. 따라서 식을 간단히 하면 다음과 같습니다.
$$\lim_{x \to 3} \frac{f(x+3)}{f(x)} \cdot 1 = 2 \implies \lim_{x \to 3} \frac{f(x+3)}{f(x)} = 2$$
이 극한에서 분모는 $f(x) \to f(3) = 0$으로 갑니다. 극한값 $2$가 존재하므로, 분자 역시 $0$으로 가야 합니다.
$$\lim_{x \to 3} f(x+3) = f(6) = 0$$
이로써 우리는 $f(x)$의 두 근이 $x=3$과 $x=6$임을 알게 되었습니다!
3단계: 삼차함수 $f(x)$ 완성하기
최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$가 $3$과 $6$을 근으로 가지므로, 나머지 한 근을 $k$라고 두고 식을 세워봅시다.
$$f(x) = (x-3)(x-6)(x-k)$$
이 식을 이용하여 $f(x+3)$을 구하면 다음과 같습니다.
$$f(x+3) = (x+3-3)(x+3-6)(x+3-k) = x(x-3)(x+3-k)$$
이제 이 두 식을 2단계에서 구한 극한식 $\lim_{x \to 3} \frac{f(x+3)}{f(x)} = 2$에 대입해 봅시다.
$$\lim_{x \to 3} \frac{x(x-3)(x+3-k)}{(x-3)(x-6)(x-k)} = 2$$
분모와 분자에 공통으로 있는 $(x-3)$을 약분합니다. (이것이 바로 $0$으로 가게 만들던 범인이었죠!)
$$\lim_{x \to 3} \frac{x(x+3-k)}{(x-6)(x-k)} = 2$$
이제 $x=3$을 대입하여 계산합니다.
$$\frac{3(6-k)}{(3-6)(3-k)} = 2 \implies \frac{3(6-k)}{-3(3-k)} = 2$$
$$\frac{6-k}{k-3} = 2$$
$$6-k = 2(k-3) \implies 6-k = 2k-6 \implies 3k = 12 \implies k = 4$$
따라서 삼차함수 $f(x)$는 다음과 같이 완벽하게 결정됩니다.
$$f(x) = (x-3)(x-4)(x-6)$$
4단계: $g(5)$의 값 구하기
구하고자 하는 $g(5)$를 계산해 봅시다. 먼저 $f(5)$의 값을 알아야 $g(x)$의 두 가지 식 중 무엇을 쓸지 결정할 수 있습니다.
$$f(5) = (5-3)(5-4)(5-6) = 2 \cdot 1 \cdot (-1) = -2$$
$f(5) \neq 0$이므로 첫 번째 식에 대입합니다.
$$g(5) = \frac{f(8)\{f(5)+1\}}{f(5)}$$
여기서 $f(8)$의 값도 구해봅시다.
$$f(8) = (8-3)(8-4)(8-6) = 5 \cdot 4 \cdot 2 = 40$$
이제 모든 값을 대입하여 최종 계산을 합니다.
$$g(5) = \frac{40 \cdot (-2+1)}{-2} = \frac{40 \cdot (-1)}{-2} = 20$$
답
정답은 **④ $20$** 입니다.
확인해보기
풀이 과정의 2단계에서 $\lim_{x \to 3} \frac{f(x+3)}{f(x)} = 2$라는 식을 얻었습니다. 이때 **"분모가 $0$으로 갈 때 분자도 반드시 $0$으로 가야만 하는 이유"**를 극한의 성질을 이용하여 스스로 설명해 보세요. (설명할 수 있다면 이 문제의 핵심 원리를 완벽히 이해한 것입니다!)