어떤 문제인가
이 문제는 로그의 성질을 이용하여 주어진 로그방정식을 만족시키는 실수 $x$의 값을 찾는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 로그의 진수 조건: 로그가 정의되기 위해서는 진수(로그 기호 안의 식)가 항상 양수여야 합니다.
- 로그의 밑 통일하기: 로그방정식을 풀 때는 양변의 '밑'을 같게 만들어 주어야 비교하기 쉽습니다. 이때 $\log_a b = \log_{a^2} b^2$ 성질을 이용하면 편리합니다.
- 이차방정식의 풀이: 로그를 정리한 후 나오는 이차방정식을 인수분해를 통해 해결합니다.
단계별 풀이
1단계: 가장 먼저 '진수 조건' 확인하기
로그 문제를 풀 때 가장 실수하기 쉬운 부분이 바로 '진수 조건'을 빼먹는 것입니다. 로그의 진수는 항상 $0$보다 커야 하므로, 방정식에 등장하는 두 진수의 범위를 먼저 구해야 합니다.
- 첫 번째 로그의 진수 조건:
$$x - 1 > 0 \implies x > 1$$
- 두 번째 로그의 진수 조건:
$$13 + 2x > 0 \implies 2x > -13 \implies x > -\frac{13}{2}$$
이 두 조건을 동시에 만족하는 $x$의 범위는 다음과 같습니다.
$$x > 1$$
(우리가 구하게 될 최종 답은 반드시 이 범위 안에 있어야 합니다!)
2단계: 로그의 밑 통일하기
주어진 방정식은 좌변의 밑이 $2$이고, 우변의 밑이 $4$입니다.
$$\log_2(x-1) = \log_4(13+2x)$$
밑을 $4$로 통일해 주는 것이 계산하기 편리합니다. 로그의 성질인 $\log_a b = \log_{a^2} b^2$을 좌변에 적용해 봅시다. ($2$를 제곱하여 $4$를 만드는 원리입니다.)
$$\log_2(x-1) = \log_{2^2}(x-1)^2 = \log_4(x-1)^2$$
이제 원래 방정식을 다시 쓰면 다음과 같습니다.
$$\log_4(x-1)^2 = \log_4(13+2x)$$
3단계: 진수끼리 비교하여 방정식 풀기
양변의 밑이 $4$로 같아졌으므로, 이제 진수끼리 서로 같다고 식을 세울 수 있습니다.
$$(x-1)^2 = 13+2x$$
이 식을 전개해서 정리해 봅시다.
$$x^2 - 2x + 1 = 13 + 2x$$
우변의 항들을 모두 좌변으로 이항합니다.
$$x^2 - 4x - 12 = 0$$
이 이차방정식을 인수분해하면 다음과 같습니다.
$$(x-6)(x+2) = 0$$
따라서 구한 $x$의 값은 다음과 같습니다.
$$x = 6 \quad \text{또는} \quad x = -2$$
4단계: 진수 조건에 맞는 최종 답 고르기
1단계에서 구했던 진수 조건인 $x > 1$을 기억하나요?
우리가 구한 두 값 중에서 이 조건을 만족하는 값만 진짜 답이 됩니다.
- $x = 6$은 $1$보다 크므로 참입니다.
- $x = -2$는 $1$보다 작으므로 거짓입니다. (실제로 $x=-2$를 원래 식에 대입하면 $\log_2(-3)$이 되어 로그가 정의되지 않습니다.)
따라서 구하고자 하는 실수 $x$의 값은 $6$입니다.
답
$$x = 6$$
확인해보기
다음 방정식을 풀 때, **진수 조건에 의해 제한되는 $x$의 범위는 무엇이며, 방정식을 만족하는 최종 해**는 무엇일까요? (스스로 직접 풀어보세요!)
$$\log_3(x-2) = \log_9(x+4)$$