어떤 문제인가
이 문제는 수열의 합을 나타내는 기호인 **시그마($\sum$)의 성질**을 잘 이해하고 있는지 묻는 문제입니다. 복잡해 보이지만, 시그마의 성질을 이용해 식을 간단하게 쪼개어 정리하면 쉽게 풀 수 있습니다.
이 문제를 풀기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 시그마의 합과 차의 성질: $\sum (x_k \pm y_k) = \sum x_k \pm \sum y_k$
- 시그마의 실수배 성질: $\sum (c \cdot x_k) = c \sum x_k$ (단, $c$는 상수)
단계별 풀이
1단계: 첫 번째 조건식 분해하기
문제에서 주어진 첫 번째 식은 다음과 같습니다.
$$\sum_{k=1}^{10} (2a_k - b_k) = 34$$
시그마의 성질(뺄셈의 분배와 실수배의 앞으로 꺼내기)을 이용하여 이 식을 좌변을 쪼개어 정리해 봅시다.
$$\sum_{k=1}^{10} (2a_k - b_k) = \sum_{k=1}^{10} 2a_k - \sum_{k=1}^{10} b_k = 2\sum_{k=1}^{10} a_k - \sum_{k=1}^{10} b_k$$
따라서, 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.
$$2\sum_{k=1}^{10} a_k - \sum_{k=1}^{10} b_k = 34$$
2단계: 알고 있는 값 대입하여 $\sum_{k=1}^{10} b_k$ 구하기
문제에서 두 번째 조건으로 $\sum_{k=1}^{10} a_k = 10$이라고 알려주었습니다.
이 값을 1단계에서 정리한 식에 대입해 봅시다.
$$2 \times 10 - \sum_{k=1}^{10} b_k = 34$$
$$20 - \sum_{k=1}^{10} b_k = 34$$
양변을 정리하여 $\sum_{k=1}^{10} b_k$의 값을 구하면 다음과 같습니다.
$$\sum_{k=1}^{10} b_k = 20 - 34 = -14$$
3단계: 구하고자 하는 값 계산하기
우리가 최종적으로 구해야 하는 값은 $\sum_{k=1}^{10} (a_k - b_k)$입니다.
이 식 역시 시그마의 성질을 이용해 쪼개어 써 봅시다.
$$\sum_{k=1}^{10} (a_k - b_k) = \sum_{k=1}^{10} a_k - \sum_{k=1}^{10} b_k$$
이제 우리가 이미 알고 있는 두 값을 대입합니다.
- $\sum_{k=1}^{10} a_k = 10$
- $\sum_{k=1}^{10} b_k = -14$
대입하여 계산하면:
$$10 - (-14) = 10 + 14 = 24$$
답
$$24$$
확인해보기
오늘 배운 시그마의 성질을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요?
[질문]
두 수열 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$에 대하여 $\sum_{k=1}^{5} a_k = 4$ 이고 $\sum_{k=1}^{5} b_k = 3$ 일 때, $\sum_{k=1}^{5} (3a_k + 2b_k)$의 값은 얼마일까요? (스스로 식을 세워 계산해 보세요!)