어떤 문제인가
이 문제는 주어진 함수 $f(x)$의 미분계수 $f'(1)$의 값이 $32$임을 이용하여, 함수식 속에 숨겨진 상수 $a$의 값을 찾는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리가 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 곱의 미분법: 두 식의 곱으로 이루어진 함수를 미분하는 방법인 $(g(x)h(x))' = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)$를 이해하고 적용할 수 있어야 합니다.
- 다항함수의 미분: $x^n$을 미분하면 $n x^{n-1}$이 되고, 상수를 미분하면 $0$이 된다는 기본 공식을 활용합니다.
단계별 풀이
1단계: 곱의 미분법 공식 준비하기
함수 $f(x)$는 두 식 $(x^2+1)$과 $(x^2+ax+3)$의 곱으로 이루어져 있습니다. 이 식을 일일이 전개해서 미분할 수도 있지만, 곱의 미분법을 사용하면 훨씬 빠르고 편리하게 미분할 수 있습니다.
곱의 미분법 공식은 다음과 같습니다.
$$f'(x) = (앞의 식)' \times (뒤의 식) + (앞의 식) \times (뒤의 식)'$$
각각의 식을 미분해 봅시다.
- 앞의 식: $g(x) = x^2+1 \implies g'(x) = 2x$
- 뒤의 식: $h(x) = x^2+ax+3 \implies h'(x) = 2x+a$
2단계: 도함수 $f'(x)$ 구하기
이제 곱의 미분법 공식에 위에서 구한 미분한 식들을 대입하여 $f'(x)$를 구합니다.
$$f'(x) = (2x)(x^2+ax+3) + (x^2+1)(2x+a)$$
3단계: $x=1$ 대입하여 식 정리하기
문제에서 $f'(1) = 32$라고 주어졌으므로, 위에서 구한 $f'(x)$ 식의 $x$ 자리에 $1$을 대입합니다. (식을 미리 전개하는 것보다 $x=1$을 먼저 대입하는 것이 계산 실수를 줄이는 좋은 방법입니다!)
$$f'(1) = (2 \cdot 1)(1^2 + a \cdot 1 + 3) + (1^2 + 1)(2 \cdot 1 + a)$$
$$f'(1) = 2(4+a) + 2(2+a)$$
괄호를 풀어서 정리해 볼까요?
$$f'(1) = (8 + 2a) + (4 + 2a)$$
$$f'(1) = 12 + 4a$$
4단계: 상수 $a$의 값 구하기
$f'(1) = 32$이므로, 우리가 구한 식과 비교하여 일차방정식을 세웁니다.
$$12 + 4a = 32$$
양변에서 $12$를 빼줍니다.
$$4a = 20$$
양변을 $4$로 나누면 $a$의 값을 얻을 수 있습니다.
$$a = 5$$
답
$$5$$
확인해보기
오늘 배운 곱의 미분법을 잘 이해했는지 스스로 점검해 봅시다.
> 질문: 함수 $g(x) = (x^2+2)(3x-1)$이 있을 때, 곱의 미분법을 이용하여 $g'(1)$의 값을 구해보세요. (직접 종이에 풀이 단계를 적어보며 계산해 보세요!)