어떤 문제인가
이 문제는 두 개의 삼차곡선과 이차곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하는 문제입니다. 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 교점 구하기: 두 곡선이 어디서 만나는지 알아야 적분 구간(시작점과 끝점)을 정할 수 있습니다.
- 함수의 대소 관계 비교: 구간 내에서 어떤 곡선이 더 위에 있는지 알아야 '위 식 - 아래 식'을 계산할 수 있습니다.
- 정적분: 넓이를 구하기 위해 '위 식 - 아래 식'을 교점 사이의 구간에서 정적분합니다.
단계별 풀이
1단계: 두 곡선의 교점 구하기
두 곡선이 만나는 점의 $x$좌표를 구하기 위해 두 식을 같다고 놓습니다.
$$3x^3 - 7x^2 = -x^2$$
우변의 항을 좌변으로 이항하여 정리해 봅시다.
$$3x^3 - 6x^2 = 0$$
공통인수 $3x^2$으로 묶어 인수분해합니다.
$$3x^2(x - 2) = 0$$
따라서 교점의 $x$좌표는 다음과 같습니다.
$$x = 0 \quad \text{또는} \quad x = 2$$
이 두 값이 우리가 정적분을 계산할 구간인 $[0, 2]$가 됩니다.
2단계: 구간 $[0, 2]$에서 어떤 곡선이 더 위에 있는지 확인하기
구간 $[0, 2]$ 사이의 임의의 값(예: $x = 1$)을 대입해서 어떤 함수가 더 큰 값을 갖는지 확인해 봅시다.
- $y = 3x^3 - 7x^2$에 $x=1$을 대입하면:
$$3(1)^3 - 7(1)^2 = 3 - 7 = -4$$
- $y = -x^2$에 $x=1$을 대입하면:
$$-(1)^2 = -1$$
$-1 > -4$이므로, 구간 $[0, 2]$에서는 곡선 $y = -x^2$이 $y = 3x^3 - 7x^2$보다 더 위에 있습니다.
3단계: 정적분을 이용하여 넓이 구하기
둘러싸인 부분의 넓이 $S$는 '위의 식'에서 '아래의 식'을 뺀 것을 구간 $[0, 2]$에서 정적분하여 구합니다.
$$S = \int_{0}^{2} \left[ (-x^2) - (3x^3 - 7x^2) \right] dx$$
괄호 안을 먼저 정리해 볼까요?
$$S = \int_{0}^{2} (-3x^3 + 6x^2) dx$$
이제 부정적분을 구합니다.
$$S = \left[ -\frac{3}{4}x^4 + 2x^3 \right]_{0}^{2}$$
위끝 $2$와 아래끝 $0$을 대입하여 계산합니다.
$$S = \left( -\frac{3}{4}(2)^4 + 2(2)^3 \right) - (0)$$
$$S = \left( -\frac{3}{4}(16) + 2(8) \right)$$
$$S = -12 + 16 = 4$$
답
$$4$$
확인해보기
두 곡선 $y = x^2$과 $y = x$로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하려고 합니다. 이 두 곡선의 교점을 구하고, 넓이를 구하기 위한 정적분 식을 어떻게 세워야 할지 스스로 생각해 보세요. (직접 계산하지 않고 식만 세워보아도 좋습니다!)