어떤 문제인가
이 문제는 주어진 함수의 극한값을 구하는 문제입니다. 식의 모양을 잘 살펴보면 우리가 미적분에서 배우는 아주 중요한 개념과 연결되어 있어요. 이 문제를 풀기 위해 필요한 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- **$\frac{0}{0}$ 꼴의 극한값 계산**: 분모가 $0$으로 갈 때, 분자도 $0$으로 가는 경우 인수분해를 통해 분모를 $0$으로 만드는 요소를 약분하여 해결합니다.
- 미분계수의 정의: 이 극한 식은 함수 $f(x)$의 $x=1$에서의 미분계수($f'(1)$)를 나타내는 식과 완전히 같습니다.
이 두 가지 방법 중 편한 방법을 선택해서 풀 수 있습니다. 여기서는 두 방법 모두 차근차근 설명해 줄게요!
단계별 풀이
방법 1: 인수분해를 이용한 직접 계산
**1단계: 주어진 식에 $f(x)$ 대입하기**
먼저 문제에서 주어진 함수 $f(x) = 2x^2 - x$를 구하고자 하는 극한 식의 분자에 대입해 봅니다.
$$\lim_{x \to 1} \frac{f(x)-1}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{(2x^2 - x) - 1}{x-1}$$
2단계: 식의 형태 파악하기
$x \to 1$일 때 분모와 분자가 각각 어디로 가는지 대입해 볼까요?
- 분모: $1 - 1 = 0$
- 분자: $2(1)^2 - 1 - 1 = 0$
분모와 분자가 모두 $0$으로 가는 $\frac{0}{0}$ 꼴이네요! 이럴 때는 분모를 $0$으로 만드는 주범인 $(x-1)$을 분자에서도 찾아내어 약분해 주어야 합니다.
3단계: 분자 인수분해하고 약분하기
분자인 이차식 $2x^2 - x - 1$을 인수분해해 봅시다. 곱해서 $-1$이 되고, 대각선으로 곱해 더해서 $-1$이 되는 조합을 찾으면 됩니다.
$$2x^2 - x - 1 = (2x + 1)(x - 1)$$
이제 이 식을 원래 극한 식에 다시 대입합니다.
$$\lim_{x \to 1} \frac{(2x+1)(x-1)}{x-1}$$
$x$가 $1$에 한없이 가까워지는 것이지 $1$은 아니므로, 분모와 분자의 $(x-1)$을 시원하게 약분할 수 있습니다.
$$\lim_{x \to 1} (2x + 1)$$
4단계: 극한값 구하기
이제 남은 식에 $x = 1$을 대입하여 계산합니다.
$$2(1) + 1 = 3$$
방법 2: 미분계수의 정의 이용하기 (더 빠른 방법!)
1단계: 미분계수의 정의와 비교하기
우리는 $x=a$에서의 미분계수 $f'(a)$의 정의를 알고 있습니다.
$$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$
문제의 식 $\lim_{x \to 1} \frac{f(x)-1}{x-1}$과 비교해 볼까요? $a=1$인 상황이네요.
실제로 $f(1)$을 계산해 보면 $f(1) = 2(1)^2 - 1 = 1$이므로, 문제의 식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$\lim_{x \to 1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}$$
즉, 이 문제는 결국 **$f'(1)$의 값을 구하라**는 말과 같습니다!
**2단계: 도함수 구하고 $x=1$ 대입하기**
함수 $f(x) = 2x^2 - x$를 미분해 봅시다.
$$f'(x) = 4x - 1$$
여기에 $x=1$을 대입하면 우리가 원하는 극한값을 바로 얻을 수 있습니다.
$$f'(1) = 4(1) - 1 = 3$$
답
정답은 **③ $3$** 입니다.
확인해보기
오늘 배운 내용을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요? 다음 문제를 직접 풀어보세요. (답은 스스로 구해보는 거예요!)
> 질문: 함수 $g(x) = x^2 + 3x$에 대하여 $\lim_{x \to 2} \frac{g(x)-10}{x-2}$의 값은 얼마일까요?
> *(힌트: $g(2)$의 값을 먼저 구한 뒤, 미분계수의 정의를 이용하거나 인수분해를 이용해 보세요!)*