어떤 문제인가
이 문제는 삼각형의 성질을 이용하여 외접원의 반지름을 구하고, 이를 통해 주어진 식의 값을 계산하는 문제입니다. 도형 문제에서 아주 자주 쓰이는 두 가지 강력한 무기를 사용합니다.
- 사인법칙 (Sine Rule): 삼각형의 한 변의 길이와 그 대각의 크기, 그리고 외접원의 반지름($R$) 사이의 관계를 밝혀줍니다. ($2R = \frac{a}{\sin A}$)
- 코사인법칙 (Cosine Rule): 두 변의 길이와 그 끼인각을 알 때, 나머지 한 변의 길이를 구할 수 있게 해줍니다. ($a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$)
이 두 법칙을 차근차근 적용하면 빈칸을 쉽게 채울 수 있습니다. 함께 풀어볼까요?
단계별 풀이
1단계: (가)에 알맞은 수 $p$ 구하기 (사인법칙 적용)
먼저 삼각형 $\text{ABD}$를 살펴봅시다. 이 삼각형의 외접원의 반지름은 $R_2$이고, 우리가 알고 있는 각은 $\angle\text{DAB} = \frac{2}{3}\pi$입니다. 이 각과 마주 보는 변은 바로 $\text{BD}$입니다.
삼각형 $\text{ABD}$에서 사인법칙을 적용하면 다음과 같은 식을 세울 수 있습니다.
$$\frac{\overline{\text{BD}}}{\sin(\angle\text{DAB})} = 2R_2$$
여기에 $\angle\text{DAB} = \frac{2}{3}\pi$를 대입해 봅시다. $\sin\left(\frac{2}{3}\pi\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$이므로,
$$\frac{\overline{\text{BD}}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R_2$$
양변을 정리해 볼까요? 왼쪽 식의 분모를 정리하면,
$$\frac{2\overline{\text{BD}}}{\sqrt{3}} = 2R_2$$
양변을 $2$로 나누면 $R_2$를 구할 수 있습니다.
$$R_2 = \frac{1}{\sqrt{3}} \times \overline{\text{BD}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \times \overline{\text{BD}}$$
따라서 빈칸 (가)에 들어갈 수 $p$는 다음과 같습니다.
$$p = \frac{\sqrt{3}}{3}$$ (또는 $\frac{1}{\sqrt{3}}$)
2단계: (나)에 알맞은 수 $q$ 구하기 (코사인법칙 적용)
이번에는 삼각형 $\text{ABD}$에서 변 $\text{BD}$의 길이를 구하기 위해 코사인법칙을 사용해 봅시다. 두 변의 길이 $\overline{\text{AB}} = 2$, $\overline{\text{AD}} = 1$과 그 끼인각 $\angle\text{DAB} = \frac{2}{3}\pi$를 알고 있으니 공식에 그대로 대입하면 됩니다.
$$\overline{\text{BD}}^2 = \overline{\text{AB}}^2 + \overline{\text{AD}}^2 - 2 \times \overline{\text{AB}} \times \overline{\text{AD}} \times \cos(\angle\text{DAB})$$
$$\overline{\text{BD}}^2 = 2^2 + 1^2 - 2 \times 2 \times 1 \times \cos\left(\frac{2}{3}\pi\right)$$
여기서 $\cos\left(\frac{2}{3}\pi\right) = -\frac{1}{2}$이므로, 식을 다시 쓰면 다음과 같습니다.
$$\overline{\text{BD}}^2 = 2^2 + 1^2 - \left( 4 \times \left(-\frac{1}{2}\right) \right)$$
$$\overline{\text{BD}}^2 = 2^2 + 1^2 - (-2)$$
문제에 제시된 식 $\overline{\text{BD}}^2 = 2^2 + 1^2 - (\text{ (나) })$와 비교해 보면, 빈칸 (나)에 들어갈 수 $q$는 다음과 같음을 알 수 있습니다.
$$q = -2$$
이때, $\overline{\text{BD}}^2$의 값도 미리 계산해 둘까요?
$$\overline{\text{BD}}^2 = 4 + 1 - (-2) = 7$$
3단계: (다)에 알맞은 수 $r$ 구하기 ($R_1 \times R_2$ 계산)
이제 $R_1 \times R_2$의 값을 구할 차례입니다. 문제에서 주어진 $R_1$과 우리가 구한 $R_2$의 식을 곱해 봅시다.
$$R_1 = \frac{\sqrt{2}}{2} \times \overline{\text{BD}}$$
$$R_2 = \frac{\sqrt{3}}{3} \times \overline{\text{BD}}$$
두 식을 곱하면,
$$R_1 \times R_2 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2} \times \overline{\text{BD}}\right) \times \left(\frac{\sqrt{3}}{3} \times \overline{\text{BD}}\right) = \frac{\sqrt{6}}{6} \times \overline{\text{BD}}^2$$
앞 단계에서 구한 $\overline{\text{BD}}^2 = 7$을 대입합니다.
$$R_1 \times R_2 = \frac{\sqrt{6}}{6} \times 7 = \frac{7\sqrt{6}}{6}$$
따라서 빈칸 (다)에 들어갈 수 $r$은 다음과 같습니다.
$$r = \frac{7\sqrt{6}}{6}$$
4단계: 최종 값 구하기
우리가 구한 $p, q, r$의 값을 공식에 대입하여 최종 답을 구해봅시다.
- $p = \frac{\sqrt{3}}{3}$ (계산의 편의를 위해 $\frac{1}{\sqrt{3}}$로 써도 좋습니다)
- $q = -2$
- $r = \frac{7\sqrt{6}}{6}$
먼저 세 수의 곱 $p \times q \times r$을 계산합니다.
$$p \times q \times r = \frac{1}{\sqrt{3}} \times (-2) \times \frac{7\sqrt{6}}{6}$$
$\sqrt{6} = \sqrt{2} \times \sqrt{3}$이므로 분모의 $\sqrt{3}$과 약분됩니다.
$$p \times q \times r = \frac{1}{\cancel{\sqrt{3}}} \times (-2) \times \frac{7\sqrt{2}\cancel{\sqrt{3}}}{6} = -2 \times \frac{7\sqrt{2}}{6} = -\frac{7\sqrt{2}}{3}$$
이제 이 값을 제곱하고 $9$를 곱해줍니다.
$$(p \times q \times r)^2 = \left(-\frac{7\sqrt{2}}{3}\right)^2 = \frac{49 \times 2}{9} = \frac{98}{9}$$
$$9 \times (p \times q \times r)^2 = 9 \times \frac{98}{9} = 98$$
답
$$98$$
확인해보기
삼각형에서 외접원의 반지름의 길이($R$)를 구해야 할 때, 사인법칙을 바로 쓰지 못하고 이 문제처럼 코사인법칙을 먼저 거쳐서 풀어야 하는 경우는 어떤 상황일까요? 삼각형의 어떤 조건들이 주어졌을 때 그러한지 스스로 생각해 보세요.