어떤 문제인가
이 문제는 등차수열의 성질과 합의 공식을 이해하고, 주어진 조건을 이용해 수열의 구체적인 항을 찾아내는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 우리가 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 등차수열의 일반항과 합 공식: 첫째항 $a$, 공차 $d$에 대해 일반항 $a_n = a + (n-1)d$와 첫째항부터 제$n$항까지의 합 $S_n = \frac{n\{2a + (n-1)d\}}{2}$을 활용합니다.
- **시그마($\sum$)의 성질**: 수열의 합의 합을 기호를 이용해 정리하고 계산하는 능력입니다.
- 부정방정식과 정수 조건: "모든 항이 자연수"라는 조건과 "배수" 조건을 이용해 무수히 많은 가능성 중 단 하나의 올바른 값을 찾아냅니다.
단계별 풀이
1단계: 등차수열의 합 $S_n$을 $a$와 $d$로 나타내기
모든 항이 자연수이므로, 첫째항 $a$와 공차 $d$는 모두 자연수(또는 공차가 0인 경우를 포함한 음이 아닌 정수)여야 합니다.
먼저 등차수열의 합 공식 $S_n$을 써봅시다.
$$S_n = \frac{n\{2a + (n-1)d\}}{2} = na + \frac{n(n-1)}{2}d$$
2단계: 주어진 시그마 식 $\sum_{k=1}^{7} S_k = 644$ 정리하기
이제 $S_k$를 시그마 식에 대입하여 $a$와 $d$에 대한 식을 유도해 봅시다.
$$\sum_{k=1}^{7} S_k = \sum_{k=1}^{7} \left( ka + \frac{k(k-1)}{2}d \right) = 644$$
이 식을 $a$를 가진 항과 $d$를 가진 항으로 나누어 계산해 보겠습니다.
- **$a$의 계수 계산**:
$$\sum_{k=1}^{7} k = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = \frac{7 \times 8}{2} = 28$$
- **$d$의 계수 계산**:
$$\sum_{k=1}^{7} \frac{k(k-1)}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{7} (k^2 - k)$$
공식을 사용해 계산하면 다음과 같습니다.
$$\sum_{k=1}^{7} \frac{k(k-1)}{2} = 0 + 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 = 56$$
따라서 식을 정리하면 다음과 같습니다.
$$28a + 56d = 644$$
양변을 $28$로 나누어 식을 아주 간단하게 만들 수 있습니다.
$$a + 2d = 23 \quad \text{--- (식 1)}$$
3단계: 자연수 조건과 배수 조건 적용하기
모든 항이 자연수이므로 첫째항 $a \ge 1$이어야 하고, 수열이 계속 자연수를 유지하려면 공차 $d$ 역시 음이 아닌 정수($d \ge 0$)여야 합니다.
(식 1)에서 $a = 23 - 2d$이므로, $a \ge 1$이 되기 위한 $d$의 범위를 구하면 다음과 같습니다.
$$23 - 2d \ge 1 \implies 2d \le 22 \implies d \le 11$$
즉, $d$가 될 수 있는 값은 $0, 1, 2, \dots, 11$ 중 하나입니다.
이제 문제의 또 다른 조건인 **"$a_7$이 $13$의 배수"**라는 조건을 사용해 봅시다.
$a_7$을 $a$와 $d$로 나타내면:
$$a_7 = a + 6d$$
여기에 $a = 23 - 2d$를 대입합니다.
$$a_7 = (23 - 2d) + 6d = 23 + 4d$$
$d$의 후보($0$부터 $11$까지의 정수)를 대입하여 $23 + 4d$가 $13$의 배수가 되는 경우를 찾아봅시다.
- $d = 0 \implies a_7 = 23$ (X)
- $d = 1 \implies a_7 = 27$ (X)
- $d = 2 \implies a_7 = 31$ (X)
- $d = 3 \implies a_7 = 35$ (X)
- **$d = 4 \implies a_7 = 39$ (O, $13 \times 3 = 39$이므로 13의 배수입니다!)**
- $d = 5 \implies a_7 = 43$ (X)
- ... (이후 $d$가 커질수록 $a_7$은 $4$씩 커지므로, 다음 13의 배수가 되려면 $d$가 $4 + 13 = 17$이 되어야 하지만, $d \le 11$이므로 더 이상 존재하지 않습니다.)
따라서 만족하는 공차는 **$d = 4$**뿐입니다.
4단계: $a_2$의 값 구하기
$d = 4$를 $a = 23 - 2d$에 대입하여 첫째항 $a$를 구합니다.
$$a = 23 - 2(4) = 15$$
우리가 구하고자 하는 값은 두 번째 항인 $a_2$입니다.
$$a_2 = a + d = 15 + 4 = 19$$
답
$$19$$
확인해보기
위에서 설명한 과정을 잘 이해했는지 스스로 점검해 볼까요?
> 질문: 만약 문제의 다른 조건은 모두 같고, 오직 **"$a_7$이 $17$의 배수"**라는 조건으로만 바뀌었다면, 이때 $a_2$의 값은 무엇이 될까요? (위의 풀이 과정 중 3단계와 4단계를 참고하여 스스로 계산해 보세요!)