어떤 문제인가
이 문제는 주어진 두 다항함수 $f(x)$와 $g(x)$, 그리고 그들의 부정적분 $F(x)$, $G(x)$ 사이의 관계식을 통해 최종적으로 정적분 $\int_{1}^{3} g(x) dx$의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 것입니다:
- 정적분으로 정의된 함수의 미분: $\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) dt = f(x)$ 성질을 이용하여 함수 $f(x)$를 구합니다.
- 곱의 미분법의 역연산: 조건 (나)의 좌변이 두 함수의 곱 $(F(x)G(x))'$을 미분한 형태임을 알아채는 것이 중요합니다.
- 미적분학의 기본 정리: 구하고자 하는 정적분 값 $\int_{1}^{3} g(x) dx$를 $G(3) - G(1)$로 바꾸어 계산합니다.
단계별 풀이
1단계: 조건 (가)를 이용하여 $f(x)$ 구하기
조건 (가)의 양변을 $x$에 대해 미분해 봅시다. 좌변은 정적분으로 정의된 함수이므로 미분하면 $f(x)$가 됩니다. 우변은 곱의 미분법을 적용합니다.
$$\frac{d}{dx} \left( \int_{1}^{x} f(t) dt \right) = \frac{d}{dx} \left( x f(x) - 2x^2 - 1 \right)$$
$$f(x) = f(x) + x f'(x) - 4x$$
양변에서 $f(x)$를 빼고 정리하면 다음과 같습니다.
$$x f'(x) = 4x$$
$x \neq 0$일 때 $f'(x) = 4$이고, $f(x)$는 다항함수이므로 모든 실수에서 $f'(x) = 4$입니다.
따라서 $f(x)$는 일차함수이며, 적분상수를 $C$라 하면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$f(x) = 4x + C$$
이제 적분상수 $C$를 구하기 위해, 조건 (가)의 식에 $x=1$을 대입해 봅시다. (위끝과 아래끝이 같으면 정적분 값은 $0$이 됩니다.)
$$\int_{1}^{1} f(t) dt = 1 \cdot f(1) - 2(1)^2 - 1$$
$$0 = f(1) - 3 \implies f(1) = 3$$
$f(1) = 4(1) + C = 3$이므로 $C = -1$입니다.
따라서, 우리는 **$f(x) = 4x - 1$** 임을 알 수 있습니다.
2단계: 조건 (나)의 의미 파악하고 양변 적분하기
조건 (나)의 좌변을 가만히 살펴보세요. 어디서 많이 본 형태 아닌가요?
$$f(x)G(x) + F(x)g(x) = F'(x)G(x) + F(x)G'(x)$$
이것은 바로 두 함수의 곱 $F(x)G(x)$를 미분한 형태입니다! 즉,
$$\frac{d}{dx} [F(x)G(x)] = 8x^3 + 3x^2 + 1$$
이제 양변을 $x$에 대해 적분하여 $F(x)G(x)$를 구합니다.
$$F(x)G(x) = \int (8x^3 + 3x^2 + 1) dx = 2x^4 + x^3 + x + C_2$$ (단, $C_2$는 적분상수)
3단계: 다항식의 비교를 통해 $G(x)$ 구하기
1단계에서 구한 $f(x) = 4x - 1$을 부정적분하여 $F(x)$를 구합니다.
$$F(x) = 2x^2 - x + C_1$$ (단, $C_1$은 적분상수)
$F(x)G(x)$가 4차식이고 $F(x)$가 2차식이므로, $G(x)$ 역시 2차식이어야 합니다. 최고차항의 계수를 비교하기 위해 $G(x) = ax^2 + bx + c$라고 놓겠습니다.
$$F(x)G(x) = (2x^2 - x + C_1)(ax^2 + bx + c)$$
이 식을 전개하여 $2x^4 + x^3 + x + C_2$와 계수를 비교해 봅시다.
- **$x^4$의 계수**: $2a = 2 \implies a = 1$
- **$x^3$의 계수**: $2b - a = 1 \implies 2b - 1 = 1 \implies b = 1$
- **$x^2$의 계수**: $2c - b + aC_1 = 0 \implies 2c - 1 + C_1 = 0 \implies C_1 = 1 - 2c$
- **$x$의 계수**: $-c + bC_1 = 1 \implies -c + C_1 = 1 \implies C_1 = c + 1$
$C_1$에 대한 두 식을 연립하면:
$$1 - 2c = c + 1 \implies 3c = 0 \implies c = 0$$
$c=0$이므로 $C_1 = 1$이 됩니다.
따라서 우리가 구하고자 하는 함수 $G(x)$는 다음과 같습니다.
$$G(x) = x^2 + x$$
4단계: 정적분 값 계산하기
미적분학의 기본 정리에 의해, $g(x)$의 한 부정적분이 $G(x)$이므로 구하고자 하는 정적분은 다음과 같이 계산할 수 있습니다.
$$\int_{1}^{3} g(x) dx = [G(x)]_{1}^{3} = G(3) - G(1)$$
위에서 구한 $G(x) = x^2 + x$에 값을 대입합니다.
- $G(3) = 3^2 + 3 = 12$
- $G(1) = 1^2 + 1 = 2$
따라서,
$$\int_{1}^{3} g(x) dx = 12 - 2 = 10$$
답
$$10$$
확인해보기
공식을 잘 이해했는지 스스로 점검해 봅시다.
질문:
만약 어떤 함수 $h(x)$의 한 부정적분이 $H(x) = 3x^2 - 2x$라고 할 때, 정적분 $\int_{1}^{2} h(x) dx$의 값은 $H(x)$를 이용하여 어떻게 식을 세우고 계산할 수 있을까요? (직접 계산해 보세요!)