어떤 문제인가
이 문제는 주어진 코사인($\cos$) 값과 각 $\theta$의 범위를 이용해서 탄젠트($\tan$) 값을 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 우리는 다음 두 가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 사분면에 따른 삼각함수의 부호: 각 $\theta$가 몇 사분면에 있느냐에 따라 $\sin, \cos, \tan$의 부호(양수/음수)가 결정됩니다.
- 삼각함수 사이의 관계식: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ 공식과 $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ 공식을 이용합니다.
단계별 풀이
1단계: 각 $\theta$가 몇 사분면의 각인지 확인하고, $\tan\theta$의 부호 결정하기
문제에서 각 $\theta$의 범위가 다음과 같이 주어졌습니다.
$$\frac{3}{2}\pi < \theta < 2\pi$$
이 범위는 좌표평면에서 제4사분면에 해당합니다.
제4사분면에서는 삼각함수의 부호가 어떻게 될까요? '올-사-탄-코(All-Sin-Tan-Cos)' 규칙을 떠올려 봅시다!
- 제1사분면: 모두(All) $+$
- 제2사분면: $\sin$만 $+$
- 제3사분면: $\tan$만 $+$
- **제4사분면: $\cos$만 $+$**
따라서 제4사분면에서 $\cos\theta$는 양수이고, 우리가 구하고자 하는 **$\tan\theta$는 음수($-$)**가 되어야 합니다.
(이 단계만으로도 보기 중에서 양수인 ④, ⑤번과 0인 ③번은 답이 될 수 없음을 알 수 있어요!)
2단계: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$을 이용하여 $\sin\theta$ 값 구하기
이제 $\tan\theta$를 구하기 위해 먼저 $\sin\theta$의 값을 구해봅시다.
삼각함수의 가장 기본 공식인 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$에 문제에서 주어진 $\cos\theta = \frac{\sqrt{6}}{3}$을 대입합니다.
$$\sin^2\theta + \left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)^2 = 1$$
$$\sin^2\theta + \frac{6}{9} = 1$$
$$\sin^2\theta + \frac{2}{3} = 1$$
$$\sin^2\theta = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$$
제곱해서 $\frac{1}{3}$이 되는 수는 $\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$입니다.
그런데 1단계에서 $\theta$가 제4사분면의 각이라고 했으므로, **$\sin\theta$의 부호는 음수($-$)**여야 합니다.
$$\sin\theta = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$
3단계: $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$를 이용하여 최종 답 구하기
탄젠트는 코사인 분의 사인으로 정의됩니다. 우리가 구한 값들을 대입해 봅시다.
$$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{6}}{3}}$$
분모에 있는 $3$을 서로 약분하여 정리하면 다음과 같습니다.
$$\tan\theta = -\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$$
분모를 유리화하기 위해 분모와 분자에 각각 $\sqrt{2}$를 곱해줍니다.
$$\tan\theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$
답
**② $-\frac{\sqrt{2}}{2}$**
확인해보기
공부를 잘 마쳤는지 스스로 점검해 볼까요? 다음 질문에 답해 보세요.
> 질문: 만약 각 $\theta$의 범위가 제3사분면($\pi < \theta < \frac{3}{2}\pi$)이고, $\cos\theta = -\frac{4}{5}$라면, 이때 $\tan\theta$의 부호는 양수일까요, 음수일까요? 그리고 그 값은 얼마가 될까요?