어떤 문제인가
이 문제는 주어진 함수의 그래프를 보고, 특정 값으로 가까이 갈 때 함수의 우극한과 좌극한을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- **우극한 ($\lim_{x \to a+} f(x)$)**: $x$가 $a$보다 큰 값을 가지면서 $a$에 한없이 가까워질 때, 함숫값 $f(x)$가 가까워지는 값입니다. 그래프에서는 $a$의 오른쪽에서 선을 따라가며 $y$좌표를 읽으면 됩니다.
- **좌극한 ($\lim_{x \to a-} f(x)$)**: $x$가 $a$보다 작은 값을 가지면서 $a$에 한없이 가까워질 때, 함숫값 $f(x)$가 가까워지는 값입니다. 그래프에서는 $a$의 왼쪽에서 선을 따라가며 $y$좌표를 읽으면 됩니다.
- 극한값과 함숫값의 차이: 극한값은 그 지점에서의 실제 함숫값(색칠된 점)이 무엇인지와 상관없이, 어디를 향해 가까이 가고 있는가만 관심이 있습니다. 빈 동그라미로 끝나더라도 그 목표 지점의 $y$좌표가 극한값이 됩니다.
단계별 풀이
1단계: 첫 번째 항 $\lim_{x \to -2+} f(x)$ 구하기
이 식은 $x$가 $-2$로 가되, 뒤에 $+$가 붙어 있으므로 **$-2$의 오른쪽(우극한)**에서 다가갈 때의 값을 묻는 것입니다.
- 그래프에서 $x = -2$인 지점을 찾습니다.
- $x$가 $-2$보다 큰 쪽(오른쪽)에서 그래프의 선을 따라 $x = -2$를 향해 움직여 봅니다.
- 그래프는 점 $(-1, 0)$에서 시작해서 왼쪽 아래인 점 $(-2, -2)$를 향해 내려가고 있습니다.
- 따라서 $x$가 $-2$에 오른쪽에서 가까워질 때, $y$값은 **$-2$**에 한없이 가까워집니다.
- 즉,
$$\lim_{x \to -2+} f(x) = -2$$
입니다.
2단계: 두 번째 항 $\lim_{x \to 1-} f(x)$ 구하기
이 식은 $x$가 $1$로 가되, 뒤에 $-$가 붙어 있으므로 **$1$의 왼쪽(좌극한)**에서 다가갈 때의 값을 묻는 것입니다.
- 그래프에서 $x = 1$인 지점을 찾습니다.
- $x$가 $1$보다 작은 쪽(왼쪽)에서 그래프의 선을 따라 $x = 1$을 향해 움직여 봅니다.
- 그래프는 $x=0$과 $x=1$ 사이에서 점 $(0, 1)$ 부근에서 시작해 오른쪽 아래인 점 $(1, 0)$을 향해 내려가고 있습니다.
- 비록 $x = 1$에서 그래프에 빈 동그라미가 그려져 있지만, 극한값은 '목표값'을 묻는 것이므로 상관없습니다. 선이 향하는 목적지의 $y$좌표는 **$0$**입니다.
- 즉,
$$\lim_{x \to 1-} f(x) = 0$$
입니다. (참고로 $x=1$에서의 실제 함숫값 $f(1)$은 검은 점이 찍힌 $2$이지만, 좌극한값은 $0$입니다.)
3단계: 두 값 더하기
이제 구한 두 극한값을 더해줍니다.
$$\lim_{x \to -2+} f(x) + \lim_{x \to 1-} f(x) = -2 + 0 = -2$$
답
**① $-2$**
확인해보기
위 그래프를 보고 다음 질문에 답해 보세요. (답은 스스로 생각해 봅시다!)
> 질문: $x$가 $-2$로 왼쪽에서 가까워질 때의 좌극한값 $\lim_{x \to -2-} f(x)$와, $x = -2$에서의 실제 함숫값 $f(-2)$는 각각 얼마일까요? 두 값은 서로 같을까요, 다를까요?