어떤 문제인가
이 문제는 등비수열의 성질을 이용하여 특정 항의 값을 구하는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 아래의 핵심 개념들을 잘 이해하고 적용해야 합니다.
- 등비수열의 일반항: 첫째항이 $a$, 공비가 $r$인 등비수열의 일반항은 $a_n = a r^{n-1}$입니다.
- 항 사이의 관계: 등비수열에서 임의의 두 항 $a_p$와 $a_q$ 사이에는 $a_q = a_p \cdot r^{q-p}$라는 관계가 성립합니다. 이를 이용하면 첫째항 $a$를 직접 구하지 않고도 문제를 훨씬 빠르게 풀 수 있습니다.
단계별 풀이
1단계: 첫 번째 조건 식 정리하기
첫 번째 조건식인 $\frac{a_3 a_8}{a_6} = 12$를 등비수열의 일반항 공식을 사용해 정리해 봅시다.
첫째항을 $a$, 공비를 $r$이라고 하면 각 항은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
- $a_3 = a r^2$
- $a_8 = a r^7$
- $a_6 = a r^5$
이 식들을 조건식에 대입해 볼까요?
$$\frac{a_3 a_8}{a_6} = \frac{(a r^2) \cdot (a r^7)}{a r^5} = \frac{a^2 r^9}{a r^5} = a r^4 = 12$$
여기서 $a r^4$는 등비수열의 5번째 항인 $a_5$를 의미합니다.
따라서 우리는 아주 중요한 단서인 **$a_5 = 12$**를 얻었습니다!
2단계: 두 번째 조건을 이용하여 $a_7$ 구하기
두 번째 조건은 $a_5 + a_7 = 36$입니다.
우리는 1단계에서 $a_5 = 12$라는 것을 이미 알아냈으므로, 이 값을 대입해 줍니다.
$$12 + a_7 = 36$$
$$a_7 = 24$$
3단계: 공비의 성질($r^2$) 알아내기
등비수열에서 $a_5$와 $a_7$ 사이에는 다음과 같은 관계가 있습니다. 5번째 항에 공비 $r$을 두 번 곱하면 7번째 항이 됩니다.
$$a_7 = a_5 \cdot r^2$$
위에서 구한 값들을 대입해 볼까요?
$$24 = 12 \cdot r^2$$
$$r^2 = 2$$
모든 항이 양수라고 했으므로 공비 $r = \sqrt{2}$가 되지만, 우리가 구하고자 하는 값을 찾기 위해 굳이 $r$의 값을 직접 구하지 않고 $r^2 = 2$인 상태 그대로 두는 것이 계산하기에 더 편리합니다.
4단계: $a_{11}$의 값 구하기
이제 마지막으로 구하고자 하는 $a_{11}$의 값을 찾아봅시다.
$a_{11}$은 7번째 항인 $a_7$에 공비 $r$을 4번 곱한 것과 같습니다.
$$a_{11} = a_7 \cdot r^4 = a_7 \cdot (r^2)^2$$
우리가 알고 있는 $a_7 = 24$와 $r^2 = 2$를 대입해 봅시다.
$$a_{11} = 24 \cdot (2)^2 = 24 \cdot 4 = 96$$
답
⑤ $96$
확인해보기
이 문제를 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요? 다음 질문에 답해 보세요.
> 질문: 모든 항이 양수인 등비수열 $\{a_n\}$에서 $a_3 = 4$이고 $a_5 = 16$일 때, $a_9$의 값은 얼마일까요? (힌트: $a_5$와 $a_3$의 관계를 통해 $r^2$을 먼저 구해보세요!)