어떤 문제인가
이 문제는 삼차함수의 극대·극소 조건을 이용해서 미지수를 구하고, 최종적으로 함수의 극댓값을 찾는 문제입니다. 이 문제를 풀기 위해 머릿속에 정리해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 도함수와 극값의 관계: 미분가능한 함수 $f(x)$가 $x = c$에서 극값을 가지면, 그 지점에서의 접선의 기울기는 $0$이 됩니다. 즉, $f'(c) = 0$입니다.
- 이차방정식의 작성: 도함수 $f'(x) = 0$의 두 근이 주어졌을 때, 식을 세워 미지수 $a, b$를 구합니다.
- 극댓값 구하기: 극대가 되는 $x$ 값을 원래 함수 $f(x)$에 대입하여 함숫값을 계산합니다.
단계별 풀이
1단계: 도함수 $f'(x)$ 구하고 극값의 조건 적용하기
함수 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 1$은 모든 실수에서 미분가능한 다항함수입니다. 먼저 이 함수를 미분하여 도함수 $f'(x)$를 구합니다.
$$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$$
문제에서 $x = -1$에서 극대이고, $x = 3$에서 극소라고 했습니다. 미분가능한 함수가 이 지점들에서 극값을 가지므로, $x = -1$과 $x = 3$을 도함수에 대입하면 그 값은 $0$이 되어야 합니다.
즉, $f'(-1) = 0$이고 $f'(3) = 0$입니다. 이는 이차방정식 $f'(x) = 0$의 두 실근이 바로 $-1$과 $3$이라는 뜻입니다.
2단계: 미지수 $a, b$ 구하기
이차항의 계수가 $3$이고 두 근이 $-1, 3$인 이차방정식을 식의 형태로 세워봅시다.
$$f'(x) = 3(x + 1)(x - 3)$$
이 식을 전개해서 원래의 도함수 모양과 비교해 볼까요?
$$f'(x) = 3(x^2 - 2x - 3) = 3x^2 - 6x - 9$$
우리가 처음에 구했던 $f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$와 계수를 비교해 봅시다.
- $2a = -6 \implies a = -3$
- $b = -9$
구한 $a$와 $b$를 원래 함수 $f(x)$에 대입하면, 완벽한 함수 식을 얻을 수 있습니다.
$$f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 1$$
3단계: 극댓값 계산하기
문제에서는 $f(x)$의 극댓값을 물어보았습니다.
문제 조건에서 $x = -1$에서 극대라고 했으므로, 우리가 구하고자 하는 극댓값은 $f(-1)$입니다.
함수 식에 $x = -1$을 대입하여 계산해 봅시다.
$$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 1$$
$$f(-1) = -1 - 3 + 9 + 1 = 6$$
따라서 극댓값은 $6$입니다.
답
③ $6$
확인해보기
위 풀이를 잘 이해했는지 확인해 봅시다.
> 질문: 우리가 구한 함수 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 1$은 $x = 3$에서 극솟값을 가집니다. 그렇다면 이 함수의 극솟값은 얼마일까요? 직접 계산해 보세요.