어떤 문제인가
이 문제는 주어진 두 식을 이용해서 우리가 구하고자 하는 분수식 $\frac{1}{3a} + \frac{1}{2b}$의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 필요한 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 분수의 통분: 서로 다른 분모를 가진 분수를 더하기 위해 분모를 같게 만들어줍니다.
- 로그의 성질: 로그의 밑과 진수를 변형하는 성질을 사용합니다.
- $\log_a (b^c) = c \log_a b$
- $\log_{a^d} b = \frac{1}{d} \log_a b$
단계별 풀이
1단계: 구하고자 하는 식을 통분하여 정리하기
우리가 구해야 하는 식은 $\frac{1}{3a} + \frac{1}{2b}$입니다. 분모가 서로 다르니, 두 분모의 최소공배수인 $6ab$로 통분해 봅시다.
$$\frac{1}{3a} + \frac{1}{2b} = \frac{2b}{6ab} + \frac{3a}{6ab} = \frac{3a + 2b}{6ab}$$
식을 정리하고 보니, 우리는 **분자인 $3a + 2b$의 값과 분모인 $6ab$의 값**만 알아내면 답을 구할 수 있다는 것을 알게 되었습니다!
2단계: 분자($3a + 2b$)의 값 정리하기
문제에서 $3a + 2b = \log_3 32$라고 주어졌습니다. 로그의 진수인 $32$는 $2^5$으로 나타낼 수 있으므로, 로그의 성질을 이용해 지수를 앞으로 꺼내어 정리해 봅시다.
$$3a + 2b = \log_3 32 = \log_3 (2^5) = 5 \log_3 2$$
3단계: 분모($6ab$)의 값 정리하기
문제에서 $ab = \log_9 2$라고 주어졌습니다. 우리가 구해야 하는 분모는 $6ab$이므로, 양변에 $6$을 곱해줍니다.
$$6ab = 6 \log_9 2$$
여기서 밑인 $9$는 $3^2$으로 쓸 수 있습니다. 밑의 지수는 로그 앞으로 나갈 때 분모로 간다는 성질을 이용해 밑을 $3$으로 통일해 봅시다.
$$6ab = 6 \log_{3^2} 2 = 6 \times \frac{1}{2} \log_3 2 = 3 \log_3 2$$
4단계: 최종 값 계산하기
이제 1단계에서 정리한 식에 2단계와 3단계에서 구한 값을 대입해 봅시다.
$$\frac{3a + 2b}{6ab} = \frac{5 \log_3 2}{3 \log_3 2}$$
분자와 분모에 공통으로 들어있는 $\log_3 2$를 약분하여 없애줍니다.
$$\frac{5 \cancel{\log_3 2}}{3 \cancel{\log_3 2}} = \frac{5}{3}$$
따라서 구하고자 하는 값은 $\frac{5}{3}$입니다.
답
**④ $\frac{5}{3}$**
확인해보기
오늘 배운 로그의 성질을 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요!
> 질문: $\log_4 8$을 밑이 $2$인 로그로 간단히 나타내면 무엇이 될까요? (힌트: $4 = 2^2$, $8 = 2^3$임을 이용해 보세요.)