어떤 문제인가
이 문제는 도함수 $f'(x)$의 식 안에 아직 알지 못하는 값인 $f(1)$이 포함되어 있을 때, 원래 함수 $f(x)$를 찾아내고 최종적으로 $f(2)$의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 필요한 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 상수 취급하기: $f(1)$은 변수 $x$가 아니라, 함수 $f(x)$에 $1$을 대입한 '특정한 숫자(상수)'라는 것을 이해하는 것입니다.
- 부정적분: 도함수 $f'(x)$를 적분하여 원래 함수 $f(x)$를 구합니다.
- 적분상수 구하기: 주어진 조건 $f(0) = 4$를 이용해 적분할 때 생기는 상수 $C$의 값을 정합니다.
단계별 풀이
1단계: $f(1)$을 상수로 치환하기
식 $f'(x) = 6x^2 - 2f(1)x$에서 $f(1)$은 $x$에 $1$을 대입한 결과이므로 상수(숫자)입니다. 계산을 복잡하지 않게 만들기 위해 $f(1)$을 상수 $k$로 치환해 봅시다.
$$f(1) = k \quad (\text{단, } k\text{는 상수})$$
이렇게 치환하면 도함수를 다음과 같이 간단하게 쓸 수 있습니다.
$$f'(x) = 6x^2 - 2kx$$
2단계: 부정적분을 통해 $f(x)$ 구하기
도함수 $f'(x)$를 적분하여 원래 함수 $f(x)$의 형태를 구합니다.
$$f(x) = \int f'(x) \, dx = \int (6x^2 - 2kx) \, dx$$
공식을 이용해 적분하면 다음과 같습니다.
$$f(x) = 2x^3 - kx^2 + C \quad (\text{단, } C\text{는 적분상수})$$
3단계: 적분상수 $C$ 구하기
문제에서 $f(0) = 4$라고 주어졌습니다. 이 값을 위에서 구한 $f(x)$ 식에 대입해 봅시다.
$$f(0) = 2(0)^3 - k(0)^2 + C = 4$$
따라서 적분상수 $C$는 다음과 같습니다.
$$C = 4$$
이 값을 대입하면 함수 $f(x)$는 다음과 같이 정리됩니다.
$$f(x) = 2x^3 - kx^2 + 4$$
4단계: 상수 $k$ (즉, $f(1)$)의 값 구하기
우리가 1단계에서 $f(1) = k$라고 약속했던 것을 기억하나요?
3단계에서 구한 $f(x)$ 식에 $x = 1$을 대입하여 $k$에 대한 방정식을 세워봅시다.
$$f(1) = 2(1)^3 - k(1)^2 + 4 = 6 - k$$
$f(1) = k$이므로, 식은 다음과 같이 정리됩니다.
$$k = 6 - k$$
이 일차방정식을 풀면:
$$2k = 6 \implies k = 3$$
따라서 $f(1) = 3$이며, 우리가 구하고자 했던 함수 $f(x)$의 완전한 식은 다음과 같습니다.
$$f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4$$
5단계: $f(2)$의 값 계산하기
이제 마지막 단계입니다! 완성된 함수 식에 $x = 2$를 대입하여 답을 구합니다.
$$f(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 + 4$$
$$f(2) = 2(8) - 3(4) + 4$$
$$f(2) = 16 - 12 + 4 = 8$$
답
정답은 **④ $8$** 입니다.
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 확인해볼까요? 다음 문제를 직접 풀어보세요.
> [질문]
> 다항함수 $g(x)$가 다음 두 조건을 만족할 때, $g(1)$의 값은 얼마일까요?
> $$g'(x) = 2x - g(1), \quad g(0) = 3$$