어떤 문제인가
이 문제는 주어진 범위 $0 \le x \le 2\pi$에서 코사인($\cos$)과 사인($\sin$)이 함께 등장하는 삼각부등식을 푸는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 것입니다:
- 삼각함수의 각 변환 공식: 서로 다른 종류의 삼각함수($\cos$과 $\sin$)를 비교하기 위해, 하나로 통일하는 방법입니다. ($\sin \theta = \cos(\frac{\pi}{2} - \theta)$ 이용)
- 코사인 그래프의 대칭성: 코사인 그래프가 $x = \pi$를 기준으로 좌우 대칭이라는 성질을 이용해 해를 구합니다.
- 삼각부등식의 영역 해석: 그래프에서 부등식이 뜻하는 영역(어느 부분이 더 아래에 있는지)을 시각적으로 이해합니다.
단계별 풀이
1단계: 우변의 $\sin \frac{\pi}{7}$을 코사인($\cos$) 형태로 바꾸기
좌변은 $\cos x$인데 우변은 $\sin$이라서 바로 비교하기가 어렵습니다. 이럴 때는 삼각함수의 각 변환 공식을 사용하여 우변을 코사인으로 바꾸어 줍니다.
우리가 배운 공식 중에 다음과 같은 공식이 있습니다:
$$\sin \theta = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right)$$
이 공식에 $\theta = \frac{\pi}{7}$를 대입해 봅시다.
$$\sin \frac{\pi}{7} = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{7}\right)$$
괄호 안의 분수를 통분하여 계산하면 다음과 같습니다:
$$\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{7} = \frac{7\pi - 2\pi}{14} = \frac{5\pi}{14}$$
따라서 주어진 부등식은 다음과 같이 코사인끼리의 비교로 바뀝니다:
$$\cos x \le \cos \frac{5\pi}{14}$$
2단계: 코사인 그래프를 그려서 부등식의 해 구하기
이제 $0 \le x \le 2\pi$ 범위에서 $y = \cos x$의 그래프와 가로선 $y = \cos \frac{5\pi}{14}$를 머릿속에 그려봅시다.
- $\frac{5\pi}{14}$는 제1사분면의 각($0$과 $\frac{\pi}{2}$ 사이)이므로, $\cos \frac{5\pi}{14}$는 양수입니다.
- 코사인 그래프 $y = \cos x$가 가로선 $y = \cos \frac{5\pi}{14}$보다 아래에 있거나 만나는 $x$의 범위를 찾아야 합니다.
먼저 경계가 되는 점, 즉 $\cos x = \cos \frac{5\pi}{14}$가 되는 두 지점을 찾습니다.
- 첫 번째 지점은 당연히 $x = \frac{5\pi}{14}$입니다.
- 두 번째 지점은 코사인 그래프의 대칭성($x = \pi$ 대칭 또는 $2\pi$ 기준 대칭)에 의해 다음과 같이 구합니다:
$$x = 2\pi - \frac{5\pi}{14} = \frac{28\pi - 5\pi}{14} = \frac{23\pi}{14}$$
코사인 그래프는 $x=0$에서 $1$로 시작해 내려갔다가 다시 올라오는 모양이므로, 가로선보다 아래쪽에 있는 구간은 두 경계값의 사이 범위가 됩니다.
따라서 구하는 $x$의 범위는 다음과 같습니다:
$$\frac{5\pi}{14} \le x \le \frac{23\pi}{14}$$
이 범위가 문제에서 말한 $\alpha \le x \le \beta$이므로,
$$\alpha = \frac{5\pi}{14}, \quad \beta = \frac{23\pi}{14}$$
가 됩니다.
3단계: $\beta - \alpha$ 계산하기
이제 마지막으로 두 값의 차를 구합니다.
$$\beta - \alpha = \frac{23\pi}{14} - \frac{5\pi}{14} = \frac{18\pi}{14}$$
약분을 하면 다음과 같습니다:
$$\beta - \alpha = \frac{9}{7}\pi$$
답
**③ $\frac{9}{7}\pi$**
확인해보기
공부를 잘 마쳤는지 스스로 확인해 볼까요?
> 질문: 만약 문제가 $\cos x \le \sin \frac{\pi}{5}$ ($0 \le x \le 2\pi$)로 바뀌었다면, 우변의 $\sin \frac{\pi}{5}$를 코사인($\cos$) 형태로 어떻게 바꿀 수 있을까요? 그리고 이때의 $\beta - \alpha$ 값은 어떻게 변할지 직접 계산해 보세요.