어떤 문제인가
이 문제는 좌표공간에 있는 한 점을 특정 평면에 대해 대칭이동했을 때 생기는 새로운 점의 좌표를 구하고, 두 점 사이의 거리를 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- **$xy$평면에 대한 대칭이동**: 어떤 점을 $xy$평면을 기준으로 거울에 비추듯 반대편으로 보낼 때, 좌표가 어떻게 변하는지 이해하기
- 두 점 사이의 거리: 좌표공간에서 두 점 사이의 거리를 구하는 공식 적용하기
단계별 풀이
1단계: 점 $\mathrm{B}$의 좌표 구하기
먼저 점 $\mathrm{A}(8, 6, 2)$를 $xy$평면에 대하여 대칭이동한 점 $\mathrm{B}$의 좌표를 찾아봅시다.
- 개념 생각하기: $xy$평면은 우리가 발을 딛고 있는 '바닥'이라고 생각하면 편해요. 바닥을 기준으로 대칭이동을 한다는 것은 좌우($x$축 방향)나 앞뒤($y$축 방향) 위치는 그대로 두고, 높이($z$축 방향)만 정반대 방향으로 바꾸는 것을 의미합니다.
- 좌표 변화: 따라서 $x$좌표와 $y$좌표는 그대로 유지되고, $z$좌표의 부호만 반대로 바뀝니다.
$$A(8, 6, 2) \longrightarrow B(8, 6, -2)$$
점 $\mathrm{B}$의 좌표는 $(8, 6, -2)$가 됩니다.
2단계: 선분 $\mathrm{AB}$의 길이 구하기
이제 두 점 $\mathrm{A}(8, 6, 2)$와 $\mathrm{B}(8, 6, -2)$ 사이의 거리를 구해봅시다. 두 가지 방법으로 생각할 수 있어요.
- 방법 A (직관적으로 풀기):
두 점 $\mathrm{A}$와 $\mathrm{B}$는 $x$좌표와 $y$좌표가 같습니다. 즉, 같은 수직선 상에 위치해 있고 높이($z$좌표)만 다릅니다. 따라서 두 점 사이의 거리는 $z$좌표의 차이와 같습니다.
$$\text{거리} = |2 - (-2)| = |2 + 2| = 4$$
- 방법 B (공식으로 풀기):
좌표공간에서 두 점 사이의 거리 공식을 사용해 봅시다.
$$\mathrm{AB} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$
공식에 두 점의 좌표를 대입하면:
$$\mathrm{AB} = \sqrt{(8 - 8)^2 + (6 - 6)^2 + (-2 - 2)^2}$$
$$\mathrm{AB} = \sqrt{0^2 + 0^2 + (-4)^2} = \sqrt{16} = 4$$
두 방법 모두 결과는 $4$로 동일합니다.
답
**④ $4$**
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 확인해볼까요?
> 질문: 점 $\mathrm{A}(8, 6, 2)$를 **$yz$평면**에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{C}$라고 할 때, 선분 $\mathrm{AC}$의 길이는 얼마일까요? (어떤 좌표의 부호가 바뀌어야 하는지 먼저 생각해 보세요!)