어떤 문제인가
이 문제는 쌍곡선 위에 있는 한 점에서의 접선의 방정식을 구하고, 그 접선이 $x$축과 만나는 점인 **$x$절편**을 찾는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 쌍곡선 위의 점에서의 접선의 방정식 공식: 쌍곡선 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 점 $(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식은 $\frac{x_1 x}{a^2} - \frac{y_1 y}{b^2} = 1$ 입니다.
- **$x$절편의 정의**: 그래프가 $x$축과 만나는 점의 $x$좌표로, 식에 $y = 0$을 대입하여 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 접선의 방정식 공식 적용하기
쌍곡선의 방정식이 $\frac{x^2}{7} - \frac{y^2}{6} = 1$ 이고, 접점의 좌표가 $(x_1, y_1) = (7, 6)$ 입니다.
쌍곡선 위의 점에서의 접선의 방정식 공식에 이 값들을 그대로 대입해 봅시다. $x^2$ 대신 $x_1 x$를, $y^2$ 대신 $y_1 y$를 넣는다고 생각하면 외우기 쉬워요!
$$\frac{7 \cdot x}{7} - \frac{6 \cdot y}{6} = 1$$
2단계: 접선의 방정식 정리하기
위에서 구한 식의 분모와 분자를 약분하여 간단하게 정리해 봅시다.
$$x - y = 1$$
아주 간단한 일차함수 모양의 접선의 방정식이 완성되었습니다!
3단계: $x$절편 구하기
$x$절편은 직선이 $x$축과 만나는 점이므로, $y$좌표가 $0$일 때의 $x$값입니다.
정리한 식 $x - y = 1$에 $y = 0$을 대입해 봅시다.
$$x - 0 = 1$$
$$x = 1$$
따라서 구하고자 하는 접선의 $x$절편은 $1$입니다.
답
**① $1$**
확인해보기
오늘 배운 방법을 잘 이해했는지 확인해 볼까요?
> 질문: 만약 같은 쌍곡선 $\frac{x^2}{7} - \frac{y^2}{6} = 1$ 위의 점 $(7, 6)$에서의 접선의 **$y$절편**을 구하라고 한다면, 그 값은 얼마가 될까요? (스스로 계산해 보세요!)